Argumento de un número complejo

Un argumento de un número complejo z distinto de cero es una medida (en radianes , por lo tanto módulo 2π) del ángulo entre la media línea de números reales positivos (el eje x ) y el que resulta del origen y pasa por el punto representado por z (ver la figura al lado).

Definición

Dado un número complejo z distinto de cero, un argumento de z es una medida (en radianes, por lo tanto módulo 2π) del ángulo:

(OX→,OMETRO→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, \; {\ overrightarrow {OM}})}

donde M es la imagen de z en el plano complejo , es decir, el punto del afijo z .

De manera equivalente, un argumento de z es un número real tal que: θ{\ Displaystyle \ theta}

porque⁡θ=ℜ(z)|z|ypecado⁡θ=ℑ(z)|z|{\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ Re (z)} {| z |}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin \ theta = {\ frac {\ Im (z)} {| z |}}},

donde , y son respectivamente las partes real e imaginaria y el módulo de z . ℜ(z){\ Displaystyle \ Re (z)}ℑ(z){\ Displaystyle \ Im (z)}|z|{\ Displaystyle \ left | z \ right |}

A menudo, denotamos un argumento del número complejo z de una manera simplificada por:

arg⁡z=θ{\ Displaystyle \ arg z = \ theta}

o más precisamente:

arg⁡z≡θmodificación2π{\ Displaystyle \ arg z \ equiv \ theta {\ bmod {2 \ pi}}}.

Nota: en Inglés, a veces llamada la fase o la amplitud de un número complejo: . pagh(z){\ Displaystyle \ mathrm {ph} (z)}

Fórmulas de cálculo

• Si z no es un imaginario puro , donde es el conjugado de z y por lo tanto: broncearse⁡(arg⁡z)=ℑ(z)ℜ(z)=z-z¯I(z+z¯){\ Displaystyle \ tan (\ arg z) = {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} = {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm {i} \ left (z + {\ bar {z}} \ right)}}}z¯{\ Displaystyle {\ bar {z}}}Si , .ℜ(z)>0{\ Displaystyle \ Re (z)> 0}arg⁡z≡arctan⁡ℑ(z)ℜ(z)≡arctan⁡z-z¯I(z+z¯)modificación2π{\ Displaystyle \ arg z \ equiv \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} \ equiv \ arctan {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm { i} \ left (z + {\ bar {z}} \ right)}} {\ bmod {2 \ pi}}}
• De manera más general, el argumento de un número complejo z distinto de cero se puede determinar por completo de la siguiente manera: arg⁡z={2arctan⁡ℑ(z)ℜ(z)+|z|Si z∉R-πSi z∈R-∗.{\ Displaystyle \ arg z = {\ begin {cases} 2 \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z) + \ left | z \ right |}} & {\ text {si}} z \ notin \ mathbb {R} _ {-} \\\ pi & {\ text {si}} z \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} {\ text {.}} \ end { casos}}}

Propiedades

Sean z , z 1 y z 2 complejos distintos de cero. Tenemos  : modificación2π{\ Displaystyle {\ bmod {2 \ pi}}}

arg⁡(z1z2)≡arg⁡z1+arg⁡z2{\ estilo de visualización \ arg (z_ {1} z_ {2}) \ equiv \ arg z_ {1} + \ arg z_ {2}}.

En particular :

• porque cualquier real tiene un valor distinto de cero:arg⁡(az)≡{arg⁡zSi a>0(arg⁡z)+πSi a<0 ;{\ Displaystyle \ arg (az) \ equiv {\ begin {cases} \ arg z & {\ text {si}} a> 0 \\ (\ arg z) + \ pi & {\ text {si}} a < 0 {\ text {;}} \ end {cases}}}
• para todos número entero relación n  : .arg⁡(zno)≡noarg⁡z{\ Displaystyle \ arg (z ^ {n}) \ equiv n \ arg z}

Aplicaciones de geometría

Si A , B , C y D son cuatro puntos de dos en dos distinto del plano complejo de afijos respectivos una , b , c y d , entonces:

(AB→,VSD→)≡arg⁡D-vsB-amodificación2π{\ displaystyle ({\ overrightarrow {AB}}, \; {\ overrightarrow {CD}}) \ equiv \ arg {\ frac {dc} {ba}} {\ bmod {2 \ pi}}}.

Notas y referencias

1. (en) Diccionario de Matemáticas , 2002, "fase".
2. (en) Konrad Knopp y Frederick Bagemihl, Teoría de las funciones Partes I y II , Publicaciones de Dover,1996, 150  p. ( ISBN  978-0-486-69219-7 ) , pág.  3.

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