Axioma de separación (topología)

En topología , un axioma de separación es una propiedad satisfecha por ciertos espacios topológicos , similar a la propiedad de separación de Hausdorff (también llamada T 2 ), y que se refiere a la separación de puntos o cerrados , ya sea desde el punto de vista de vecindarios , o de real continuo. funciones .

Se pueden ordenar por implicación varios axiomas de separación, en particular los de la serie de axiomas codificados por la letra "T" y un índice numérico, siendo estos axiomas en general tanto más restrictivos cuanto más altos los índices y las topologías correspondientes más finas. .

Advertencia  : en la literatura, el vocabulario es a veces muy volátil y algunas de estas definiciones pueden intercambiarse.

Lista de axiomas

La separación T 0 (espacio de Kolmogorov)

Decimos que un espacio topológico X es Kolmogorov , o satisface la propiedad T 0 , si para cualesquiera dos puntos distintos de X , uno (al menos) de los dos puntos admite una vecindad que no contiene el otro punto. O, uno de los dos puntos no se adhiere al otro.

Separación T 1 (espacio accesible o Fréchet)

Un espacio T 1 es un espacio topológico cuyos singletons están cerrados. Esto es equivalente a: para cualquier punto x , la intersección de las vecindades de x se reduce al singleton { x }. O de nuevo, para dos puntos distintos, cada uno de los dos puntos admite una vecindad que no contiene al otro punto. O, ninguno de los dos puntos es adherente al otro.

Un espacio es T 1 si y solo si es tanto T 0 como R 0 .

Espacios límite secuenciales únicos

Un "espacio con límite secuencial único" (traducción libre del nombre en inglés por el cual esta noción es más conocida: espacio con límite secuencial único o espacio de EE. UU. ) Es un espacio X en el que cada secuencia convergente tiene solo un límite, o, como la diagonal está cerrado de forma secuencial en X × X .

Cualquier espacio con un único límite secuencial es T 1 pero lo contrario es falso.

Demostración

Sea X un espacio con un único límite secuencial. Entonces, para todos los puntos distintos x y y de X , la secuencia constante de valor x no converge hacia y así existe un entorno de y que no contiene x , lo que demuestra que X es T 1 .

La topología cofinita en un conjunto infinito es un espacio T 1 en el que las secuencias de inyectivos convergen en cualquier punto de X .

Otro ejemplo es el “derecho con dos orígenes”. Este espacio es el cociente de ℝ × {0, 1} por: para cualquier x real distinto de cero, ( x , 0) se identifica con ( x , 1). Solo está separado localmente .

Espacios ligeramente separados

Un espacio topológico X está ligeramente separado, o débilmente Hausdorff, o t 2 cuando el espacio para todos compacto K y cualquier aplicación continua f de K en X , la imagen K por f es cerrado en X .

Cualquier espacio débilmente separado es T 1 (pero no necesariamente con un único límite secuencial). Para mostrar que cualquier singleton es cerrado, basta con considerar un K compacto y el mapa constante f de K en este singleton.

Espacios KC

Un espacio KC es un espacio en el que todo cuasi-compacto está cerrado (una noción relacionada es la de espacio generado de forma compacta ).

Cualquier espacio KC está débilmente separado. De hecho, la imagen de un compacto por una aplicación continua es casi compacta.

Cualquier espacio KC tiene un límite secuencial único, pero lo contrario es falso.

Demostración

Sea X un espacio KC. Habiendo notado que X es T 1 (todo singleton está cerrado), demostremos que si una secuencia ( x n ) converge ax e y , entonces x = y . Si la secuencia toma una infinidad de veces el valor y , esta igualdad es inmediata (en un espacio T 1 , una secuencia constante tiene solo un límite). De lo contrario, sea A el conjunto de x n distinto de y . Entonces A ∪ { x } es cuasi-compacto por lo tanto cerrado en X por lo tanto contiene y (ya que su complemento es abierto y que x n → y ) por lo tanto y = x .

Sea X el espacio de Arens-Fort , que está separado y en el que las partes compactas son las partes finitas, y sea X + su extensión Alexandrov (que es cuasi-compacta, pero no separada ya que X no es localmente compacta ). Entonces X + es un espacio con un límite secuencial único en el que X + \ {(0,0)} es un cuasi-compacto no cerrado.

Sin embargo, en un espacio secuencial con un único límite secuencial, cualquier parte compacta numerable está cerrada, por lo que el espacio es KC.

En un espacio dado, una topología cuasi compacta es máxima para esta propiedad si y solo si es KC y una topología KC es mínima para esta propiedad si y solo si es cuasi compacta, de modo que las topologías cuasi compactas máximas y los KC mínimos son los mismos.

La separación T 2 (espacio de Hausdorff)

Esta es la propiedad clásica. Un espacio topológico se llama T 2 , o Hausdorff , o espacio separado , si para cualquier par ( x, y ) de elementos distintos de X , existen dos disjuntos aberturas , una de las cuales contiene x y el otro contiene y . Esto es equivalente a: para cada punto x , la intersección de los barrios cerrado de x se reduce a la singleton { x }, o aún: la diagonal es cerrado en X × X .

La separación T 2 implica la separación KC (este es el teorema clásico según el cual todo compacto de un separado es cerrado ).

Lo contrario es falso, pero un espacio con bases contables de barrios se separa en cuanto tiene un límite secuencial único .

Demostración

La extensión Alexandrov de ℚ (que es cuasi-compacta) no está separada ya que ℚ no es localmente compacto , pero es un espacio KC. Otro ejemplo es la topología codificable en ℝ.

O X un espacio base numerable de barrios y límite secuencial único, entonces la diagonal se cierra secuencialmente en X × X . Como este producto es secuencial (porque todavía tiene una base contable de vecindarios), la diagonal se cierra, por lo tanto, X se separa.

La topología de Zariski en una variedad algebraica es T 1 pero generalmente no está separada.

La separación T 2 1/2 (espacio completamente de Hausdorff)

Un espacio topológico es un espacio T 2 1/2 cuando dos puntos distintos admiten vecindarios cuyas adherencias son inconexas. O de nuevo, dos puntos distintos admiten barrios cerrados inconexos.

Cualquier espacio T 2 1/2 está separado pero lo contrario es falso, como muestra el siguiente ejemplo. Consideramos el conjunto E del plano formado por el interior del disco de centro O de radio 1 y los dos puntos (1, 0) y (–1, 0). Una base de vecindades de un punto dentro del disco se forma a partir de los discos centrados en ese punto. Una base de vecindades del punto (1, 0) está formada por la unión de este punto y una banda semicircular (abierta en el sentido habitual) adyacente a este punto y delimitada por segmentos [(0, 1), (0 , 1 - h)] y [(0, –1), (0, –1 + h)]. Lo mismo ocurre con (–1, 0). En el dibujo de al lado, hemos representado en color una vecindad de un punto dentro del disco, y una vecindad de cada uno de los puntos (1, 0) y (–1, 0). Si estos dos últimos barrios están abiertos, son disjuntos, pero sus adherencias se cruzan según algunos de los segmentos comunes que los limitan. Por tanto, el espacio E está separado pero no T 2 1/2 .

La separación T 2 3/4 (espacio de Urysohn)

Un espacio topológico X se llama espacio Urysohn cuando para todos los puntos distintos x y y de X , existe una función continua f de X en el segmento [0, 1] tal que f ( x ) = 0 y f ( y ) = 1 Un espacio de Urysohn es T 2 1/2 .

Un espacio es Urysohn si y solo si el mapa canónico a su Stone-Čech compactificado es inyectivo.

Separación T 3 y espacios regulares

Un espacio topológico X satisface T 3 cuando por cualquier punto x de X por todas cerrado F de X no contiene x , hay dos disjuntos una abierta de las cuales contiene x y el otro contiene F .

Cualquier espacio que verifique T 3 y T 0 está separado. Se dice que ese espacio es regular . Comprueba T 2 1/2 , pero no siempre T 2 3/4 . Por el contrario, la topología K en ℝ satisface T 2 3/4 pero no T 3 .

Separación T 3 1/2 y espacios completamente regulares (o Tychonov)

Un espacio topológico X verifica T 3 1/2 si para cualquier punto x de X y para cualquier F cerrado de X que no contenga x , existe una función continua de X en el segmento [0, 1] que es igual a 0 en x y 1 en F . Esto es equivalente a: X es uniformizable .

Cualquier espacio que verifique T 3 1/2 y T 0 está separado. Tal espacio se califica como completamente regular (también decimos: espacio de Tychonov ). Por lo tanto, un espacio completamente regular no solo es regular sino también Urysohn.

Un espacio es completamente regular si y solo si está inmerso en un espacio compacto .

Separación T 4 y espacios normales

Un espacio topológico X satisface T 4 cuando por cualquier par de disjuntos cerrado E y F , hay un par de uno abierto disjuntos de que contiene S y el otro contiene F .

Este axioma no se conserva pasando a subespacios ni pasando a productos (sin embargo, cualquier subespacio cerrado de un espacio T 4 es T 4 ).

No implica nada de lo anterior. En particular, un espacio puede verificar T 4 sin estar separado: la topología aproximada satisface T 4 . Por otro lado, si un espacio satisface T 4 y T 1, entonces se separa.

Se dice que un espacio separado que verifica T 4 es normal .

Si X satisface T 4 para cada par de disjuntos cerrado E y F , existe una función continua de X en el segmento [0, 1] siendo 0 a E y 1 de F . Esta propiedad notable se llama lema de Urysohn . Más generalmente, los Tietze extensión teorema asegura que cualquier función continua de un cerrado X en ℝ se extiende continuamente a X .

En particular, todo el espacio normal es completamente regular.

Cualquier espacio paracompacto (especialmente cualquier compacto) es normal.

Separación T 5 y espacios completamente normales

A topológicos espacio X satisface T 5 si para todas las partes A y B de X tal que A ∩ B = ∅ y B ∩ A = ∅, hay dos uno abierto disjuntos de que contiene A y el otro contiene B .

Esto es equivalente a: cualquier subespacio de X satisface T 4 , y para ello basta con que los subespacios abiertos de X satisfagan T 4 .

Demostración

• Deje que X satisface T 5 y Y un subespacio de X . Entonces Y verifica T 5 (por lo tanto, T 4 ). De hecho, para todas las partes A y B de Y , la adhesión de B en el subespacio Y (provisto de su topología inducida ) es igual a B ∩ Y , por lo que si es disjunto de A entonces A ∩ B = ∅ (y de la misma manera intercambiando los roles de A y B ). Según la hipótesis de X , dos de esas partes A y B están, por lo tanto, separadas por dos aberturas de X disjunto . Rastros en Y de ambos son entonces abierto dos abiertos Y disjuntos que separado A y B .
• En un espacio X donde todos los subespacios abiertos satisfacen T 4 , sean A y B dos partes tales que A ∩ B = ∅ y B ∩ A = ∅. Establecemos Y = X \ ( A ∩ B ). Viene A ⊂ A ∩ Y y B ⊂ B ∩ Y . En el subespacio abierto Y (provisto de su topología inducida), A ∩ Y y B ∩ Y , disjuntos cerrados, están separados por dos aberturas de Y , que a fortiori separan A y B y que (dado que Y es una abertura de X ) también están abiertos en X . Por tanto, X satisface T 5 .

Se dice que un espacio separado que verifica T 5 es completamente normal .

Por tanto, un espacio es completamente normal si y solo si todos sus subespacios son normales.

Cualquier conjunto totalmente ordenado provisto con la topología del pedido , por ejemplo, cualquier espacio topológico asociado con un ordinal , es completamente normal.

El tablero Tychonov [0, ω 1 ] × [0, ω ], producto de dos espacios completamente regulares, no es un compacto completamente normal.

La separación T 5 1/2 (espacio perfectamente normal)

Se dice que un espacio separado X es perfectamente normal si cualquier cerrado de X es el lugar de cancelación  (en) de un mapa continuo f de X a ℝ.

Cualquier espacio metrizable es perfectamente normal (tome la distancia a la función cerrada para f ).

Cualquier subespacio de un espacio perfectamente normal sigue siendo perfectamente normal.

Un espacio perfectamente normal es normal (y por lo tanto completamente normal, basado en la estabilidad previa para subespacios). Mejor: por todo disjuntos cerrado E y F de una región X , e y f ser funciones continuas que desaparecen exactamente en estos cerrada, la función es continua, y es 0 exactamente en E y 1 exactamente en F . |mi||mi|+|F|:X→[0,1]{\ Displaystyle {\ frac {| e |} {| e | + | f |}}: X \ a [0,1]}

Cualquier espacio perfectamente normal es un espacio G δ  (en) , es decir, en el que cualquier cerrado es un subconjunto G δ (una intersección numerable de aberturas), en este caso pero lo contrario es falso: la K-topología es un espacio de separación G δ es decir no del todo normal o incluso normal. ⋂no=1+∞F-1(]-1/no,1/no[){\ Displaystyle \ bigcap _ {n = 1} ^ {+ \ infty} f ^ {- 1} \ left (\, \ left] -1 / n, 1 / n \ right [\, \ right)}

La definición original (debida a Čech y equivalente) es: un espacio es perfectamente normal si es un espacio G δ normal.

Un ejemplo de un espacio completamente normal pero no perfectamente normal es [0, ω₁] (provisto de la topología del orden), donde ω₁ denota el primer ordinal incontable .

Notas y referencias

1. Esta letra, inicial de la palabra alemana Trennungsaxiom ("axioma de separación"), fue introducida por Pavel Aleksandrov y Heinz Hopf en su tratado Topología de 1935 (p. 58 y siguientes), donde presentaron una lista de tales axiomas (cf. . (en) Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas , por Jeff Miller).
2. Más precisamente, tenemos aquí las siguientes implicaciones (y las que se pueden deducir inmediatamente): T51/2⇒T5⇒T4,T4∧T1⇒T31/2,T31/2⇒T3,{\ Displaystyle T_ {5 \; 1/2} \ Flecha derecha T_ {5} \ Flecha derecha T_ {4}, \ quad T_ {4} \ land T_ {1} \ Flecha derecha T_ {3 \; 1/2}, \ quad T_ {3 \; 1/2} \ Flecha derecha T_ {3},} T31/2∧T0⇒T23/4,T3∧T0⇒T21/2,{\ Displaystyle T_ {3 \; 1/2} \ land T_ {0} \ Rightarrow T_ {2 \; 3/4}, \ quad T_ {3} \ land T_ {0} \ Rightarrow T_ {2 \; 1 / 2},} T23/4⇒T21/2⇒T2⇒KVS⇒US∧t2,US∨t2⇒T1⇒T0.{\ Displaystyle T_ {2 \; 3/4} \ Rightarrow T_ {2 \; 1/2} \ Rightarrow T_ {2} \ Rightarrow KC \ Rightarrow US \ land t_ {2}, \ quad US \ lor t_ {2 } \ Flecha derecha T_ {1} \ Flecha derecha T_ {0}.}
3. (es) Hans-Peter A. Künzi y Dominic van der Zypen , “Maximal (secuencialmente) topologías compactos” , en Werner Gähler y Gerhard Preuß, estructuras categóricas y sus aplicaciones , Mundo Científico,2004( ISBN  978-9-81256053-7 , leer en línea ) , pág.  173-187, arXiv : matemáticas / 0306082 .
4. (en) “  límites únicos en T 1 espacios  ” , en matemáticas. stackexchange .com .
5. Ver el artículo Espacio generado de forma compacta .
6. (in) Francisco G. Arenas Julian Donchev y Maria Luz Puertas, "Enfoque unificador de los axiomas de separación entre T 0 y Call Hausdorff completamente", octubre de 1998. ArXiv : math / 9810074 , p. 5, ejemplo 2.2.
7. (en) Mangesh G. Murdeshwar , Topología general , Nueva Era,1990, 2 nd  ed. , 357  p. ( ISBN  978-81-224-0246-9 , leer en línea ) , pág.  162.
8. Ejemplo encontrado en (en) Julian Donchev , Maximilian Ganster y Laszlo Zsilinszky , "  extremally T 1 -spaces and Related Spaces  " , arXiv ,1998( leer en línea ). Ver también
   • (es) "  Un espacio en el que las secuencias tienen límites únicos pero los conjuntos compactos no necesitan estar cerrados  " en MathOverflow ,
   • (en) Helen F. Cullen , “  Límites secuenciales únicos  ” , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , vol.  20, n o  1,1965, p.  123-124 ( leer en línea ) y
   • (en) Jakub Opršal , espacios KC mínimos , Univerzita Karlova v Praze ,2009( leer en línea ).
9. (en) SP Franklin , "  Espacios en los que las secuencias son suficientes II  " , Fondo. Matemáticas. , vol.  61, 1967, p.  51-56 ( leer en línea ), Proposición 5.4.
10. Dontchev, Ganster y Zsilinszky 1998 y Opršal 2009 .
11. Ejemplos encontrados en (en) "¿  Ejemplo de un espacio de Hausdorff débil que no es Hausdorff?  En MathOverflow, que proporciona más detalles y proporciona un tercer ejemplo. Véase también (en) Paul Fabel , "  On low dimensional KC-spaces  " , arXiv ,2011( leer en línea ).
12. (en) Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , Contraejemplos en topología , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978), 244  p. ( ISBN  978-0-486-68735-3 , presentación en línea ) , pág.  82, 92dar otros tres ejemplos: contraejemplo 60 (topología de enteros primos relativos) , contraejemplo 61 (topología de enteros primos) : dos topologías en ℕ *, menos finas que la restricción a ℕ * de la topología de enteros espaciados uniformemente  : tomamos como base abrir ellos un ℕ * + b con un y b privilegiada entre ellas (resp. un primer ); el primero de estos dos ejemplos se detalla en (en) “  Espacio de Hausdorff no completamente Hausdorff  ” , en PlanetMath - y Contraejemplo 74 ( Topología de origen doble  (en) ) .
13. Steen y Seebach 1995 , Contraejemplos 90 (sacacorchos de Tychonoff), 92 (sacacorchos condensado de Hewitt), 94 (sacacorchos de Thomas) .
14. François Guénard y Gilbert Lelièvre , Análisis adicional, Vol. 1: Topología, primera parte , ENS Fontenay ed.,1985( leer en línea ) , pág.  35.
15. Steen y Seebach 1995 , p.  162.
16. N. Vedenissoff, “  Generalización de algunos teoremas sobre la dimensión  ”, Compositio Mathematica , vol.  7,1940, p.  194-200 ( leer en línea ).

Ver también

Artículos relacionados

• Historia de los axiomas de separación  (en)
• Conjuntos separados  ( pulgadas )

Bibliografía

• (en) Mickael Henle, Introducción combinatoria a la topología , Dover ,1994, 310  p. ( ISBN  978-0-486-67966-2 , presentación en línea )
• (es) James Munkres , Topología , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( leer en línea ) , cap.  4
• (en) Stephen Willard, Topología general , Dover,2012( 1 st  ed. 1970), 384  p. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , presentación en línea )

Enlace externo

(en) Karl H. Hofmann, "  Los axiomas de baja separación (T 0 ) y (T 1 )  " , en la Universidad Técnica de Darmstadt ,2001

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">