Lema de Goursat

En álgebra , el lema de Goursat es un teorema de la teoría de grupos .

Estados

Deje que G y G 'sean dos grupos , H un subgrupo de G × G' tal que los dos canónicas proyecciones , p : H → G y p ' : H → G' , son sobreyectiva . El núcleo N de p ' es un subgrupo normal de G × { e' } (donde e ' denota el elemento neutro de G' ) por lo tanto se identifica con un subgrupo normal de G ; el núcleo N ' de p se identifica igualmente con un subgrupo normal de G' . Con estas identificaciones,

la imagen de H en G / N × G ' / N' es la gráfica de un isomorfismo G / N ≃ G ' / N' .

Demostración

Primero comprobamos que N , visto como un subgrupo de G , es de hecho normal, como una imagen de ker ( p ' ) (normal en H ) por el morfismo sobreyectivo p .

La imagen de H en G / N × G ' / N' es el conjunto

{\ Displaystyle G '': = \ {(gN, g'N ') \ mid (g, g') \ in H \}.}

Por sobrejetividad de p , cualquier elemento de G / N es el primer componente de al menos un par de G " . Este par también es único porque

{\ Displaystyle {\ text {si}} h_ {1} = (g_ {1}, g '_ {1}), h_ {2} = (g_ {2}, g' _ {2}) \ en H {\ text {y}} g_ {1} N = g_ {2} N {\ text {luego}} h_ {1} ^ {- 1} h_ {2} \ in N '{\ text {por lo tanto}} g '_ {1} N' = g '_ {2} N'.}

Asimismo, cualquier elemento de G ' / N' es el segundo componente de un solo par de G " .

Según las pruebas de verticales y horizontales , G " es, por tanto, el gráfico de una biyección de G / N a G ' / N' .

Por construcción, esta biyección es un morfismo de grupo .

Referencias

Édouard Goursat , “ Sobre sustituciones ortogonales y divisiones regulares del espacio ”, Ann. Sci. CE. Norma. Estupendo. , 3 Serie E , vol. 6,1889, p. 9-102 ( leer en línea )
(en) Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ], 2002, pág. 75

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