En matemáticas , una sobreyección o aplicación sobreyectiva es una aplicación para la que cada elemento del conjunto de llegada tiene al menos un antecedente , es decir, es la imagen de al menos un elemento del conjunto inicial . Es equivalente a decir que el conjunto de imágenes es igual al conjunto de llegada.
Es posible aplicar el adjetivo "sobreyección" a una función (o incluso a una correspondencia ) cuyo dominio de definición no es el conjunto inicial completo, pero en general el término "sobreyección" está reservado para aplicaciones (que se definen en toda su extensión). conjunto inicial), al que nos limitaremos en este artículo (para más detalles, consulte el párrafo “Función y aplicación” del artículo “Aplicación” ).
Para designar los conjuntos inicial y final de una sobreyección, se acostumbra decir "de A a B " en lugar de "de A a B " como para una aplicación en general.
En el caso de una función real de una variable real , su sobrejetividad es equivalente al hecho de que su gráfica interseca cualquier línea paralela al eje x.
Una aplicación que es tanto sobreyectiva como inyectiva es una biyección .
Se dice que un mapa f de X a Y es sobreyectivo si para cualquier elemento y de Y , existe al menos un elemento x de X tal que f ( x ) = y , que se escribe formalmente:
.Consideramos el caso de un complejo vacacional donde un grupo de turistas debe alojarse en un hotel. Cada forma de distribución de estos turistas en las habitaciones del hotel se puede representar mediante una aplicación del conjunto X de los turistas al conjunto Y de las habitaciones (cada turista está asociado a una habitación).
La función definida por
no es sobreyectiva porque algunos números reales no tienen un antecedente. Por ejemplo, no existe una x real tal que f ( x ) = −4. Pero si cambiamos la definición de f dando como conjunto final ℝ + ,
entonces se vuelve así porque cada real positivo tiene al menos un antecedente: 0 tiene exactamente un antecedente, 0, y todos los reales estrictamente positivos y tienen dos, la raíz cuadrada de y y su opuesto .
La función definida por
es sobreyectiva ya que, para cualquier y real arbitraria , hay soluciones a la ecuación y = 2 x + 1 de x desconocido ; una solución es x = ( y - 1) / 2.
La función definida por
no es sobreyectiva porque los reales estrictamente mayores que 1 o estrictamente menores que –1 no tienen antecedente. Pero la función definida por
que tiene la misma expresión que g , pero con un conjunto de llegada que se ha restringido al conjunto de reales entre –1 y 1, es sobreyectiva. De hecho, para cualquier y real arbitraria del intervalo [–1, 1], existen soluciones a la ecuación y = cos ( x ) de la incógnita x : estos son los reales x = ± arccos ( y ) + 2 k π para cualquier entero relativo k .
En estos pocos ejemplos, vemos que siempre es posible transformar un mapa no sobreyectivo en una sobreyección con la condición de restringir su conjunto final .
Si f es un mapa de X a Y e Im ( f ) = f ( X ) su conjunto de imágenes (es decir, el conjunto de imágenes por f de los elementos de X ), entonces el mapa
es una sobreyección.
En otras palabras, si f está corestringido a Im ( f ), es decir, si reemplazamos su conjunto de llegada por su conjunto de imágenes, se vuelve sobreyectiva .
Cualquier mapa f puede descomponerse como f = i ∘ s donde s es una sobreyección e i una inyección. Esta descomposición es única excepto por un isomorfismo . Se proporciona un desglose en el párrafo detallado. Otro (equivalente) es elegir para s la sobreyección definida anteriormente, y para i la inyección canónica de la imagen de f en su conjunto de llegada.
Para cualquier mapa f : X → Y , las siguientes cuatro propiedades son equivalentes:
Deje f una aplicación X en Y .
Deje f una aplicación X en Y . Si f es " invertible a la derecha" , es decir, si existe un mapa g de Y a X tal que la función compuesta f ∘ g es igual al mapa de identidad en Y , entonces f es sobreyectiva (de una propiedad vista arriba ).
Tal mapa g se llama sección , o inverso a la derecha de f . Es necesariamente inyectivo .
Por el contrario, si f es sobreyectiva, entonces admite una sección. Esta propiedad se basa en el hecho de que siempre se puede "flecha arriba" de Y a X . Siempre es cierto si Y está terminado. La afirmación de que es verdadera para cualquier conjunto Y es equivalente al axioma de elección .