Subgrupo normal

En la teoría de grupos , un subgrupo normal (también llamado subgrupo distinguido o subgrupo invariante ) H de un grupo G es un subgrupo globalmente estable por la acción de G sobre sí mismo por conjugación . Los subgrupos normales intervienen naturalmente en la definición del cociente de un grupo . Los subgrupos normales de G son precisamente los granos de morfismos definidos en G .

Los subgrupos de aplicaciones familiares normales en geometría en el estudio de acciones grupales , en topología algebraica en la clasificación de revestimientos , en la teoría de Galois en la de Galois .

Definición

Decimos que un subgrupo de un grupo es normal (o distinguido o invariante) si es estable por conjugación, es decir, si: $H$ $GRAMO$ $GRAMO$

\ para todas las h \ en H, ~ \ para todas las x \ en G, \ qquad xhx ^ {{- 1}} \ en H.

Luego notamos . $H \ trianglelefteq G$

Una forma equivalente de definir un subgrupo normal es decir que las clases a la derecha y a la izquierda de en coinciden, es decir: $H$ $GRAMO$

\ forall x \ in G, \ qquad xH = Hx.

Una propiedad

Si X y Y son dos partes de un grupo G , serán designados por XY todos los elementos G de la forma xy con x en X y Y en Y .

¿Es H un subgrupo normal de un grupo G ? Es el resultado de la relación

\ forall x \ in G, \ qquad xH = Hx

que si X es parte de G , entonces XH = HX . (Pase a reuniones x navegando X ). Este es particularmente el caso si X es un subgrupo K (no necesariamente normal) de G . Se demuestra fácilmente que si A y B son subgrupos de un grupo G , si AB = BA , entonces AB es un subgrupo de G y es obviamente el subgrupo de G generada por A y B . Entonces :

Si H y K son dos subgrupos de un grupo G , si al menos uno de estos dos subgrupos es normal en G , entonces el subgrupo de G generado por H y K es el conjunto HK = KH .

Grupo cociente

Los subgrupos normales son importantes en el estudio de grupos de cocientes debido al siguiente hecho:

Sea G un grupo y H un subgrupo de G ; de modo que la relación de equivalencia en G (en x y y ) xH = yH es compatible con la ley de G (en otras palabras, de modo que la equivalencia de x y y y la equivalencia de z y t siempre conllevan la de xz y yt ), es necesario y suficiente que el subgrupo H es normal en G . (La relación de equivalencia xH = yH también se puede escribir Hx = Hy .)

Entonces podemos definir en el conjunto de cocientes correspondiente a esta relación de equivalencia una (y sólo una) ley de composición ✻ tal que, para todos los elementos a , b de G , tengamos ( aH ) ✻ ( bH ) = abH . Esta ley de composición es una ley de grupo; equipada con esta ley de grupo, el conjunto cociente se llama el grupo cociente de G por H y tomó nota de G / H .

Vínculo con morfismos de grupo

Para cualquier morfismo de grupos , F:GRAMO→GRAMO′{\ Displaystyle f: G \ to G '} $f: G \ a G '$
- si es un subgrupo normal de entonces el subgrupo de imagen directa es normal en (por lo tanto, en si es sobreyectiva ); $H$ $GRAMO$ $F H)$ $f (G)$ $G '$ $F$
- si es un subgrupo normal de, entonces el subgrupo de imágenes recíprocas es normal en . $H '$ $G '$ $f ^ {{- 1}} (H ')$ $GRAMO$
Los subgrupos normales de un grupo G son aquellos subconjuntos de G que son el núcleo de un morfismo de G en otro grupo.De hecho, el núcleo de un morfismo de grupos de G a G ' es un subgrupo normal de G , como una imagen recíproca del subgrupo trivial de G' . A la inversa, cualquier subgrupo normal H de G es un anillo: el del mapa canónica de G en el grupo cociente G / H .
Para cualquier número natural n distinto de cero, un grupo de tipo finito tiene solo un número finito de subgrupos normales de índice n .Eso resulta de la caracterización anterior y del hecho de que en un conjunto fijo en n elementos, solo hay un número finito de leyes internas .

Ejemplos de

{ E } y G son siempre los subgrupos normales de G . Si son los únicos subgrupos normales y si G no se reduce a { e }, entonces se dice que G es simple .
La intersección de una familia de subgrupos no vacíos grupo normal G es un subgrupo normal de G .
El subgrupo generado por una familia de subgrupos normales de un grupo G es un subgrupo normal de G .
Cualquier grupo abeliano es un grupo dedekind , es decir, todos sus subgrupos son normales.
El grupo alterno A 4 tiene un subgrupo K normal isomorfo al grupo de Klein . Los tres subgrupos de orden 2 de K son normales en K , pero en A 4 son conjugados , por lo que no son normales. Esto muestra que la relación "es un subgrupo normal de" no es necesariamente transitiva.
Si G es un grupo finito y si p es el más pequeño divisor primero de su orden, entonces cada subgrupo de G de índice p es normal en G .

Demostración

Consideremos el conjunto G / H de clases laterales izquierdos de G siguientes H . Sobre este conjunto con p elementos, H actúa por traslación, con al menos un punto fijo (la clase eH = H ). La órbita de cualquier punto no fijo tendría por cardinal un divisor del orden de H estrictamente mayor que 1 y por lo tanto mayor o igual ap , lo cual es incompatible con lo que precede. Por tanto, todos los puntos son fijos, es decir, para todos los elementos g de G y h de H tenemos hgH = gH , es decir, g –1 hg∈H , por lo que H es normal.

Cualquier subgrupo del índice 2 (de un grupo no necesariamente finito) es normal.

Demostración

Es H índice 2 en G . Por cada elemento g de G , o g pertenece a H y luego gH y Hg son iguales a H , o g no es en H y luego gH y Hg son iguales al complemento de H en G . En ambos casos, gH = Hg así ghg -1 = H .

Un subgrupo característico de G es un subgrupo estable por la acción de todos los automorfismos de G (que no siempre es el caso en el ejemplo anterior). Un subgrupo de este tipo es, en particular, estable por cualquier automorfismo interior , es decir, es un subgrupo normal. Por ejemplo, el centro y el subgrupo derivado de un grupo son subgrupos característicos y, por lo tanto, normales.
- El centro de G es el subgrupo formado por los elementos de G que conmuta con todos los demás.
- El subgrupo derivado de G es el subgrupo generado por los conmutadores . Es el subgrupo normal más pequeño de G tal que el cociente es conmutativo.
Si G es un grupo y H un subgrupo de G , el núcleo de H en G está definido por H G = ∩ g∈G gHg –1 . Es un subgrupo de H que es normal en G y que contiene todos los subgrupos de H que son normales en G. Si H tiene un índice finito n en G, entonces el grupo cociente G / H G es isomorfo a un subgrupo de S n , el grupo simétrico en n elementos.

Historia

La noción de subgrupo normal aparece por primera vez en este pasaje de Galois : “cuando un grupo G contiene otro H , el grupo G se puede dividir en grupos, que cada uno de nosotros obtenemos operando sobre las permutaciones de H la misma sustitución; de modo que

\ G = H + HS + HS '+ \ cdots.

Y también se puede dividir en grupos que tienen las mismas sustituciones, de modo que

\ G = H + TH + T'H + \ cdots.

Estos dos tipos de descomposiciones no suelen coincidir. Cuando coinciden, se dice que la descomposición es limpia . "

Notas y referencias

J. Calais, Elementos de la teoría de grupos , Prensas universitarias de Francia,1984
D. Perrin, Curso de álgebra , Elipses ,1996
¡Atención! En inglés, un subgrupo distinguido no designa un subgrupo normal sino un subgrupo estrictamente característico .
Jean-Bernard Zuber, " Introducción a la teoría de grupos y sus representaciones "
Estas dos propiedades (entre otras) se demuestran en este curso sobre Wikiversidad .
N. Bourbaki , Álgebra I, Capítulos 1 a 3 , París, 1970, p. I.35, o (en) WR Scott, Teoría de grupos , Dover ,1987( 1 st ed. 1964) ( línea de leer ) , p. 29.
Scott , 1987 , p. 29.
(De) G. Frobenius , "Über endliche Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , enero a mayo de 1895, p. 171, para consulta en el sitio web Internet Archive . (Referencia a "Frobenius 1895" dada por Fabrice Castel, Grupos finitos , preparación para agregación externa , Universidad de Rennes 1 , 2009-2010, p. 47.)
(en) Anthony W. Knapp , Álgebra básica , Vol. 1, Springer,2006( ISBN 978-0-8176-3248-9 , leer en línea ) , pág. 163.
Knapp , 2006 , p. 130.
Évariste Galois, “Carta a Auguste Chevalier ”, Revue encyclopédique , septiembre de 1832; citado (en) H. Wussing , The Genesis of the Abstract Concept Group , tr. Inglés, 1984, repr. Dover, 2007, pág. 115 y 305 en Google Books .