En matemáticas , y más particularmente en teoría de grupos , el producto directo de una familia de grupos es una estructura de grupo que se define naturalmente en el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes a estos grupos.
Sea y sea dos grupos. Denotemos por su producto cartesiano (o, más exactamente, el producto cartesiano de sus conjuntos subyacentes). Es natural definir en un componente por ley de composición de componentes:
,el producto que aparece en el segundo miembro se calcula en y el producto en . Es fácil comprobar que esta ley de composición proporciona una estructura de grupo. Este grupo se llama el producto directo (o simplemente producto) de los grupos y y observadas . Si y denotan respectivamente los neutrales de y de , el neutro de es . Lo simétrico de un elemento de es el elemento .
La aplicación define un isomorfismo de on ("conmutatividad" del producto directo) y la aplicación define un isomorfismo de on ("asociatividad" del producto directo).
La definición anterior se generaliza de la siguiente manera a cualquier familia de grupos.
O una familia (finita o infinita) de grupos. Llamamos producto de grupo de esta familia, o producto de esta familia, o producto directo de esta familia, y denotamos el producto cartesiano de la familia de (conjuntos subyacentes de) , provisto con el componente por ley de composición de componentes:
,donde, para cada i, el producto se calcula en .
Está claro que esta ley de composición es de hecho una ley de grupo. Dado que en la teoría de conjuntos, el producto cartesiano de una familia de conjuntos tiene como cardinal el producto de los cardinales de estos conjuntos, el orden del producto directo de una familia de grupos es el producto de los órdenes de estos grupos.
Observaciones.
Para cualquier elemento j de I, denote por el mapa j-ésima proyección
del producto cartesiano de (conjuntos subyacentes a) en . Verificamos fácilmente que es un homomorfismo sobreyectivo de grupos, al que llamamos homomorfismo de proyección j-ésima de on .
De hecho, el mapa es claramente un morfismo de grupos y obviamente satisface la propiedad anterior (que es además un caso particular de la propiedad universal del producto cartesiano de una familia de conjuntos).
En el lenguaje de la teoría de categorías , la propiedad universal del producto de una familia de grupos equivale a decir que, en las notaciones anteriores, P y la familia de homomorfismos constituyen un producto de la familia en la categoría de grupos.
Para cualquier elemento j de I, denotemos por la aplicación de en que envía x a la familia definida por si y si . Verificamos fácilmente que es un homomorfismo inyectivo de grupos, al que llamamos la j-ésima inyección canónica de into .
(Si denota la proyección j-th-homomorfismo de on , obviamente tenemos, para cualquier elemento j de I,
)La imagen del homomorfismo inyectivo es un subgrupo de isomorfismo . Es el conjunto de los elementos de tal que para cualquier i distinto de j . A menudo identificamos y ; por ejemplo, decimos que es un subgrupo de .
Verificamos fácilmente que es un subgrupo distinguido de y que si i y j son elementos distintos de I, cualquier elemento conmuta con cualquier elemento de . (No se puede decir lo mismo si i y j no son distintos, porque no es necesariamente conmutativo).
El subgrupo de generado por es el conjunto de elementos de para el cual solo hay un número finito (posiblemente cero) de índices i tales que . Esto nos lleva a esta definición:
Definición. Considere una familia de grupos. El conjunto de elementos de para el cual solo hay un número finito (posiblemente cero) de índices i tales que se proporciona con una ley de grupo por . Este subgrupo de se denomina suma restringida o suma directa de la familia de grupos . Cuando los grupos son abelianos, decimos suma directa en lugar de suma restringida .Notaremos la pequeña suma de la familia de grupos . Sin embargo, cabe señalar que las calificaciones no son fijas. Cuando los grupos son conmutativos, también se anota la suma directa .
De lo anterior, la suma restringida es un subgrupo del producto directo y es claro que este subgrupo se distingue. Se observó que se distinguen en , por lo tanto se distinguen en .
Si el conjunto I es finito, o, más generalmente, si solo hay un número finito de elementos i de I tales que no son triviales (por trivial queremos decir reducidos a neutros), el producto directo y la pequeña suma de los fusión familiar .
De lo anterior, la j-ésima inyección canónica de into toma sus valores en la suma restringida. Por lo tanto, también hablaremos de la j-ésima inyección canónica como un homomorfismo de en la suma restringida.
La suma restringida de una familia grupal tiene la siguiente propiedad:
Sea K una familia de grupos, K un grupo y una familia de homomorfismos tales que, para todos los elementos distintos i , j de I, cada elemento conmuta con cada elemento de . Hay una y sólo una homomorfismo f de en K tal que para cada elemento j de I, .De hecho, considere la aplicación
;este mapa está correctamente definido porque, por un lado, hay como máximo un número finito de i tal que y, por otro lado, porque, para i distinto de j , conmuta con , lo que permite definir independientemente de cualquier orden en I. Podemos verificar fácilmente que f es un homomorfismo y que de hecho es el único homomorfismo de en K como se dijo.
Si el grupo K es abeliano, la hipótesis de conmutación se verifica automáticamente y obtenemos:
Sea una familia de grupos y K un grupo abeliano. Morfismoes un isomorfismo.Si todos los grupos son abelianos, entonces su suma directa también es abeliana, y el teorema anterior proporciona la propiedad universal de la suma directa:
Propiedad universal de la suma directa. Sea K una familia de grupos abelianos, K un grupo abeliano y una familia de homomorfismos. Hay una y sólo una homomorfismo f de en K tal que para cada elemento j de I, .En el lenguaje de la teoría de categorías , la propiedad universal de la suma directa de una familia de grupos abelianos equivale a decir que si es una familia de grupos abelianos, el grupo y, en las notaciones anteriores, la familia de homomorfismos constituyen una suma (también llamado "coproducto") de la familia en la categoría de grupos abelianos. Así hemos probado que existen sumas en la categoría de grupos abelianos. También existen sumas en la categoría de grupos bajo el nombre de productos libres , y la suma restringida de una familia de grupos conmutativos es la abelianizada de su producto libre.
Sea G un grupo y una familia de subgrupos de G tal que, para todos los elementos distintos i y j de I, cualquier elemento conmuta con cualquier elemento de . Para cualquier elemento j de I, denotar por la j-ésima inyección canónica de en la suma restringida de y por el homomorfismo de inclusión de en . De acuerdo con la propiedad de la suma restringida enunciada anteriormente, existe un y solo un homomorfismo f de la suma restringida de en G tal que, para cualquier elemento j de I,
y este homomorfismo se puede definir por
Definición. Sea G un grupo y una familia de subgrupos de G. Decimos que G es una suma restringida interna de la familia si para todos los elementos distintos i y j de I, cualquier elemento conmuta con cualquier elemento de y el homomorfismo de la suma restringida de en G es un isomorfismo.
Podemos verificar fácilmente que si G es un grupo y una familia de subgrupos de G, G es una suma restringida interna de esta familia si y solo si se cumplen las siguientes dos condiciones:
El están entonces distinguir subgrupos de G y generan G.
Cuando queremos distinguir entre la suma restringida y la suma restringida interna, decimos "suma restringida externa" por "suma restringida". Sin embargo, a menudo nos olvidamos de hacer la distinción y decimos fácilmente "suma restringida" por "suma restringida interna".
En el caso en el que G es abeliano, hablamos de una suma directa interna (o simplemente suma directa) en lugar de una suma restringida interna. En este caso, se simplifica la caracterización de una suma directa interna:
Sea G un grupo abeliano y una familia de subgrupos de G. G es una suma directa (interna) de esta familia si y solo si se cumple la siguiente condición (en notaciones aditivas):
para cualquier elemento x de G, existe una y sólo una familia tal que para todo i , excepto quizás para un número finito de i y .En el caso de que I sea finito, a menudo decimos "producto directo interno" o simplemente "producto directo" en lugar de "suma restringida interna".
En este caso, podemos caracterizar la suma restringida interna de la siguiente manera:
Sea G un grupo y una familia finita de subgrupos de G. G es una suma restringida interna (producto interno directo en otra terminología) de esta familia si y solo se cumplen las siguientes condiciones:
a) cada uno es un subgrupo distinguido de G, b) generarlos G, c) para todo i <n.En el caso particular donde n = 2, esto muestra que un grupo G es una suma restringida interna de dos subgrupos H y K si y solo si estos subgrupos se distinguen, generan G y tienen una intersección reducida a neutral. Incluso podemos simplificar estas condiciones al:
c) H ∩ K es trivial , b ') G = HK , a ') H y K para normalizarse entre sí (de uno encaja en los interruptores , es suficiente, dado c, para que todos los elementos de H conmuten con todos los elementos de K ).Cuando G es finito, también podemos reemplazar la condición b ') por | G | = | H | | K | (según la fórmula del producto ), y observe que la condición c) se cumple automáticamente si | H | y | K | son primos entre ellos (según un teorema de Lagrange ).
Cuando queremos distinguir entre el producto directo interno y el producto directo definido anteriormente, este último se denomina “producto directo externo”.
Si G es un producto interno directo de la familia finita de subgrupos de G, algunos autores escriben:
o incluso o .La notación no es confusa porque, por ejemplo, si una de las siguientes tres relaciones es verdadera (en un sentido obvio):
los otros dos también.
Además de estas relaciones de "asociatividad", tenemos una relación de "conmutatividad":
Sea G un grupo y H , K subgrupos de G ; si G = H × K , entonces G = k × H .Estas relaciones de “asociatividad” y “conmutatividad” se pueden obtener como casos particulares de una propiedad general de “asociatividad” de la suma interna restringida de una familia (finita o infinita) de subgrupos.
Dado que el producto directo interno de una familia finita de subgrupos es la suma restringida interna de esa familia, la suma restringida interna es isomorfa a la suma restringida externa, y en el caso de una familia finita de grupos, la suma restringida externa es idéntica a la suma restringida externa. producto directo, el producto directo interno de una familia finita de subgrupos es isomorfo al producto directo externo de esta familia. En particular, el producto directo interno de una familia finita de subgrupos tiene por orden el producto de los órdenes de estos subgrupos.
Un subgrupo H de un grupo G se dice factor directo de G si existe (al menos) un subgrupo K de G tal que G es producto directo interno G = H × K .
Cualquier grupo G admite la descomposición en un producto interno directo G = G × 1. Se dice que esta descomposición es trivial .
Deje G grupo único de orden 2, isomorfo al grupo cíclico Z / 2 Z . Su tabla es la siguiente:
|
El grupo de productos G × G es un grupo abeliano de cuatro elementos cuya tabla es la siguiente:
|
El grupo resultante es isomorfo al grupo de Klein, el único grupo no cíclico de orden 4, cada elemento del cual es su propio inverso.
Sea V un espacio vectorial (a la izquierda o a la derecha) sobre un campo K. De la existencia de bases en los espacios vectoriales se deduce que el grupo aditivo de V es la suma directa interna de una familia de grupos isomorfos al aditivo grupo de K. (De hecho, la noción de suma directa de subespacios vectoriales se adapta mejor a esta situación, pero no es necesaria para la presente discusión).
Sea p un número primo y G un grupo abeliano en el que px = 0 para cualquier elemento x de G. El grupo G es de una y sólo una forma el grupo aditivo de un espacio vectorial en el campo con p elementos Z / p Z . Por tanto, según el párrafo anterior, G es suma interna directa de una familia (finita o infinita) de grupos (cíclicos) de orden p .
Se demuestra que si una y b son dos números naturales primos entre sí y G un grupo cíclico de orden ab , entonces G es un producto interno directo de su único (cíclico) subgrupo de orden una y de su subgrupo único (cíclica) de orden b . Por otro lado, si G es un grupo cíclico y un , b dos divisores no prime del orden de G, G no es el producto interno directa de un grupo de orden una y de un grupo de orden b .
Considere una familia de grupos. Sea S su suma restringida externa y, para cualquier elemento j de I, mediante la j-ésima inyección canónica de en S. Podemos verificar fácilmente que S es la suma restringida interna de la familia .
Un enfoque, algo análogo al de los espacios vectoriales, da una equivalencia entre un producto directo y un morfismo particular llamado proyector . Sea G un grupo, H 1 y H 2 dos subgrupos de G tal que el mapa φ del párrafo anterior sea un isomorfismo. Entonces, cualquier elemento g de G se escribe de forma única h 1 * h 2 donde h i es un elemento de H i . Sea p el mapa de G en G que ag asocia h 1 . Se beneficia de las siguientes propiedades:
Aquí o denota la composición de funciones.
La analogía con los espacios vectoriales da lugar a la siguiente definición:
Los datos de un proyector permiten una descomposición de G en un producto directo:
En el caso de que G sea abeliano, cualquier morfismo cuyo cuadrado sea igual a sí mismo es un proyector, de hecho, cualquier elemento del grupo conmuta con cualquier elemento del grupo.
Esta propiedad se puede reformular de la siguiente manera. Cualquier secuencia exacta:
tal que G es abeliano, y que existe una sección G / H en G que factoriza en un producto directo .
DemostracionesDe hecho, demostremos que p es un morfismo:
Demostremos que pop es igual ap. Sea g = h 1 * h 2 cualquier elemento de G , p ( g ) = h 1 . Además, h 1 se escribe únicamente como el producto de un elemento de H 1 y un elemento de H 2 de la siguiente manera: h 1 = h 1 * e , por lo que p ( h 1 ) = h 1 , y se demuestra la proposición.
Demostremos que cualquier elemento de la imagen de p conmuta con cualquier elemento del núcleo de p . La imagen de p está incluida en H 1 , la proposición anterior muestra la inclusión inversa, por lo que la imagen de p es igual a H 1 . Demostremos que el núcleo de p es igual a H 2 . Por construcción de p, cualquier elemento del núcleo se escribe e * h 2 con h 2 elemento de H 2 que prueba la igualdad. A continuación, el párrafo anterior muestra el resultado deseado.
Basta mostrar que cada elemento de G está escrito de manera única como el producto de un elemento h de la imagen y un elemento k del núcleo. Sea g un elemento de G sea h la imagen de g por p y k = g * h -1 . Por construcción, h es un elemento de la imagen de p .
Además, pop ( g ) = p ( g ) = p ( h ) = h , y por lo tanto p ( h -1 ) = h -1 . En consecuencia, p ( k ) = p ( g ) * p ( h -1 ) = e , y k es de hecho un elemento del núcleo. Cualquier elemento de G puede escribirse como producto de un elemento de la imagen y de un elemento del núcleo.
Suponga que dos escribe g = h * k y g = i * l de un elemento g de G como el producto de un elemento de la imagen y un elemento del núcleo de p . entonces i -1 * h = l * k -1 y el término de la izquierda es un elemento de la imagen y el de la derecha del kernel. Dado que los dos términos son iguales, pertenecen a la intersección. Como elemento de la imagen, el término es invariante por p , como elemento del núcleo su imagen es igual ae , por lo tanto i -1 * h = l * k -1 = e . Lo que demuestra la singularidad de la escritura.
El caso general no puede tratarse, es demasiado amplio, por lo que es necesario formular hipótesis adicionales. Estas hipótesis corresponden esencialmente a tres casos aquí tratados.
El caso más simple es cuando el grupo G es finito. Un primer ejemplo lo dan los grupos cíclicos, son suficientes para generar, utilizando el producto directo, todos los grupos abelianos finitos.
Que está escrito de la siguiente manera:
El segundo caso es de naturaleza cercana al caso anterior. Corresponde a grupos que contienen una parte generadora finita. Por lo tanto, existe al menos un grupo que no es parte del conjunto anterior, la de números enteros Z . Demostramos (en el artículo asociado) que es el único generador a agregar para obtener todos los grupos abelianos de tipo finito.
Las dos categorías anteriores son contables. Sin embargo, hay grupos importantes que no lo son, se puede citar, por ejemplo, el caso de las isometrías lineales del plano utilizado anteriormente. Entonces es necesario agregar tres hipótesis: el grupo tiene una estructura múltiple diferencial compatible con el grupo (hablamos de un grupo de Lie) , el espacio tangente es de dimensión finita y el número de componentes conectados del grupo está terminado. Luego se verifica la siguiente propiedad:
Grupo de productos en les-mathematiques.net