Una función real de una variable real es diferenciable en un punto a cuando admite una derivada finita en a , es decir, intuitivamente, cuando puede aproximarse de manera bastante fina mediante una función afín en la vecindad de a . Es derivable sobre un intervalo abierto real no vacío si es diferenciable en cada punto de este rango. Es diferenciable en un intervalo real cerrado y acotado (es decir, en un segmento real) no reducido a un punto si es diferenciable en el interior de este intervalo y derivable a la derecha en su límite izquierdo, y diferenciable a la izquierda. en su terminal derecho.
La derivabilidad suele demostrarse de dos formas:
La diferenciabilidad implica continuidad : prácticamente, en un punto no aislado del dominio de definición de la función, la continuidad será un prerrequisito necesario para poder estudiar la diferenciabilidad en este punto; si sabemos que una función es diferenciable en un punto, entonces sabemos que es (previamente) continua en este punto. Pero lo contrario es incorrecto, como muestran los ejemplos siguientes.
La clase de funciones C 1 en un intervalo real no vacío y no reducido a un punto ( tal intervalo se llama "no trivial ") son funciones diferenciables funcional continua primera derivada en este intervalo. La diferenciabilidad también se puede concebir para funciones de la variable real con valores en un espacio vectorial normalizado . También existe una noción de diferenciabilidad para las funciones de la variable compleja, pero las propiedades de estas funciones son muy específicas y conducen al estudio de las funciones holomórficas.
Sea f una función definida sobre un intervalo no trivial I de ℝ y con valores en ℝ y sea a un elemento de I , decimos que f es diferenciable en a si se cumple una de las siguientes cuatro afirmaciones equivalentes:
La primera y la segunda afirmación son equivalentes: basta con establecer x = a + h . El tercer enunciado es equivalente a los otros dos y los números reales ℓ 1 , ℓ 2 y ℓ 3 son iguales; ilustra lo que se entiende por abordar la función mediante una función afín "suficientemente fina".
En el cuarto enunciado, la pendiente de la tangente corresponde a los números ℓ 1 , ℓ 2 y ℓ 3 ; es el número derivado de f en a . Hay funciones cuya curva representativa admite una tangente en a sin que la función sea diferenciable en a : basta con que la tangente a la curva sea paralela al eje y.
Sea f una función definida en un intervalo I que contiene un intervalo de la forma [ a , t ] donde t ≠ a , decimos que f es derivable a la derecha en a si la restricción de f al intervalo [ a , t ] es derivable en a . Luego denotamos la derivada en a de esta restricción, y lo llamamos el número derivado de la función f en a de la derecha. En su punto de abscisas a , la curva representativa de f admite una media tangente derecha , no paralela al eje de ordenadas.
Definimos de la misma manera la derivabilidad de la izquierda en a como la derivabilidad en a de la restricción de f a un intervalo [ t , a ].
Una función diferenciable ha es, a fortiori , a la derecha ya la izquierda diferenciable es si una es un punto interior del intervalo I . Una función puede ser derivable a la derecha y a la izquierda en a sin ser derivable en a . Si a es un punto dentro del intervalo I , f es diferenciable en a si y solo si es diferenciable a la izquierda y a la derecha en a con .
Por lo tanto, las funciones o son derivables a la derecha y a la izquierda en 0 sin, sin embargo, ser derivables en 0 porque las derivadas a la izquierda y a la derecha en 0 son diferentes.
Una función diferenciable en a es necesariamente continua en a . Por lo tanto, la derivabilidad de una función solo se busca en puntos donde la función ya es continua.
Lo contrario de esta afirmación es falso: existen funciones que son continuas en a pero no diferenciables en este punto. Por tanto, la función de valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en este punto. La función raíz cuadrada es continua en 0, su curva tiene una tangente en el punto de abscisa cero pero la función no es diferenciable en 0. Finalmente, la función x ↦ x sin (1 / x ) se extiende por continuidad en 0 pero el la prolongación no es derivable en 0. Existen incluso funciones continuas que no pueden derivarse en ninguna parte .
Una función derivable a la derecha (respectivamente a la izquierda) en a es continua a la derecha (respectivamente a la izquierda) en este punto.
Suma, producto : Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo no trivial I y diferenciables en a , elemento de I , entonces las funciones f + g , λ • f (para cualquier λ real) y f × g también son diferenciable en a . El conjunto de funciones diferenciables en que , provisto de restricciones (de) las dos leyes internas de composición + y x y la ley de composición externa • con los operadores reales, es entonces una subálgebra de la álgebra de funciones continuas en I .
Inversa : Si f es una función definida y distinta de cero en un intervalo no trivial I y diferenciable en a , elemento de I , entonces su inversa 1 / f también es diferenciable en a .
Compuesto : Si I y J son dos intervalos no triviales, si f se define en I con valores en J y si g se define en J (y con valores reales), si f es diferenciable en a , elemento de I , y si g es diferenciable en f ( a ) entonces el compuesto g ∘ f es diferenciable en a .
Recíproco : Si f es un mapa continuo y estrictamente monótono con valores reales en el intervalo no trivial I , sabemos ( teorema de biyección ) que induce una biyección F desde el intervalo I al intervalo J = f ( I ) ( imagen directa intervalo de I por aplicación f ); si además f , por lo tanto F , es diferenciable en a , elemento de I , y de derivada distinta de cero en a , entonces la biyección recíproca de F , el mapa F −1 , es diferenciable en F ( a ).
En el teorema anterior, el hecho de tomar una función continua y estrictamente monótona asegura la existencia de una biyección recíproca continua por el teorema de biyección. También encontramos versiones más débiles de este teorema: si f es una biyección de I en J diferenciable en a con una derivada distinta de cero en a y si el recíproco de f es continuo en f ( a ) entonces es diferenciable en f ( a ).
El siguiente teorema a veces se denomina "teorema del límite de la derivada" o "teorema de la extensión de una función diferenciable": si f es continua en I y diferenciable en I \ { a } y si f ' tiene un límite real a en a, entonces f es diferenciable en una y f ' ( un ) = ℓ. Esta propiedad es una consecuencia directa del teorema del incremento finito . Es de esta forma que se suele citar la propiedad, pero también hay versiones más fuertes donde las condiciones iniciales son menos restrictivas, así:
Estos teoremas de extensión son muy útiles en el caso de que las reglas operativas permitan definir una derivada excepto en un punto.
Una función convexa en un intervalo abierto es diferenciable a la derecha y a la izquierda en cualquier punto y el conjunto de puntos donde la derivada de la derecha es diferente de la derivada de la izquierda es, como mucho, contable .
Una función monótona en un intervalo I es diferenciable en casi todas partes . Este teorema se atribuye a Henri-Léon Lebesgue . Para una función monótona continua, hay una demostración relativamente asequible . Al mostrar que una función de salto tiene casi en todas partes una derivada cero , deducimos el resultado para cualquier función monótona y, por diferencia, para una función con variación acotada (ver más abajo). También podemos usar la propiedad de derivabilidad en casi todas partes de funciones con variación acotada porque una función monótona es de variación acotada.
Decimos que f es k -lipschitziano en un intervalo I si
Una función k -lipschitziana en I es diferenciable en casi todas partes. Es posible deducir esta propiedad del hecho de que una función k -lipchitziana tiene variación acotada, pero podemos usar más simplemente el hecho de que la función x ↦ f ( x ) - kx es continua decreciente monótona.
Esta propiedad es un caso particular de un teorema más general, relativo a los mapas de Lipschitz de un conjunto abierto de ℝ n en ℝ m : el teorema de Rademacher .
Una función con variación limitada es diferenciable en casi todas partes.
Este teorema abarca los casos especiales de funciones Lipschitzianas y funciones monotónicas. Es válido para funciones con valores en el conjunto de reales pero también para funciones de la variable real con valores en el conjunto de complejos.
La definición de una función n veces diferenciable se realiza por inducción:
Estas funciones son diferenciables en cualquier intervalo real donde estén definidas:
Estas funciones se pueden diferenciar excepto en un conjunto "excepcional":
Las siguientes funciones no se pueden diferenciar en ℝ :
Una integral indefinida (roja) de una onda cuadrada (azul) es continua pero no diferenciable.
Una integral indefinida (roja) de la parte entera (azul) es continua pero no diferenciable.
La función x ↦ x sin (1 / x ) es continua en 0 pero no diferenciable ni a la izquierda ni a la derecha.
La definición se extiende como lo es para las funciones con valores en ℝ n o más generalmente en un espacio de vector normalizado . Cualquiera de I un intervalo que no reduce a un punto, y f una función definida en I con valores en un espacio vectorial normado E . Es una parte de lo . La función f es diferenciable en un si el límite existe en E .
Encontramos de la misma manera la definición de derivabilidad por la derecha y por la izquierda, el hecho de que una función diferenciable por la izquierda y por la derecha en a y cuya derivada por la izquierda coincide con la derivada por la derecha es derivable en a .
La derivabilidad es compatible con la suma de las funciones y la multiplicación por un real. El conjunto de funciones definidas en I , con valores de E y diferenciable en un es un subespacio lineal de todas las funciones definidas en la que los valores de E .
También existe la noción de una función n veces diferenciable.
Los teoremas de extensión también existen: una función continua sobre I diferenciable sobre I \ { a } y cuya derivada tiene un límite en a es diferenciable en a (incluso podemos estar satisfechos con una función diferenciable a la derecha). Sin embargo, para afirmar que cualquier función definida y diferenciable en] a , b ], cuya derivada tiene un límite en a , puede extenderse a una función derivable a la derecha en a , es necesario que, en el espacio vectorial E , cualquier La secuencia de Cauchy converge. Por tanto, esta versión del teorema de la extensión solo es válida cuando E es un espacio de Banach .
Seguimos definiendo de la misma manera la diferenciabilidad de una función de ℂ a ℂ. Sea f una función definida en una U abierta de ℂ con valores en ℂ, y tiene un elemento de u . La función f es diferenciable en a si existe.
Resulta que la situación es profundamente diferente del caso real, ver análisis complejo .
Una función de ℂ en ℂ se puede considerar como una función de ℝ 2 en ℝ 2 . Es diferenciable en a = x + i y si y solo si es diferenciable en ( x , y ) y si las diferenciales parciales verifican la igualdad en este punto Si denotamos por f = u + i v donde u y v son funciones de ℝ 2 en ℝ, la última igualdad da como resultado la siguiente doble igualdad
También se puede definir una derivabilidad para funciones de ℂ en un espacio vectorial normalizado E en ℂ.
Existen otras definiciones de derivabilidad que permiten ampliar o restringir el conjunto de funciones derivables. Las propiedades de estos nuevos derivados son entonces, según el caso, más débiles o más fuertes.
Sea f una función definida en un intervalo abierto I , y en un punto de I , decimos que f es derivable según Schwarz en a si existe una f s ( a ) real tal que Este real se llama derivada simétrica de f en a .
Una función diferenciable siempre es diferenciable según Schwarz y la derivada simétrica corresponde a la derivada clásica, pero la inversa es falsa. Así, la función de valor absoluto es diferenciable según Schwarz en 0, de derivada simétrica nula, mientras que no es derivable en 0 para la definición clásica. Ni siquiera es necesario que la función sea continua en 0 para ser diferenciable según Schwarz.
Si la función f es continua en I y si f s es continua en a, entonces f es derivable en a .
Para una función continua en I , la existencia de una derivada simétrica positiva es suficiente para decir que f es creciente y la existencia de una derivada simétrica constantemente cero es suficiente para demostrar que f es constante.
Esta noción de derivabilidad fue propuesta en 1892 por Giuseppe Peano , quien la encontró más cercana a la herramienta utilizada en física y la prefirió en matemáticas porque induce resultados más fuertes.
Sea f una función real definida en un A abierto y tiene un real. La función f es fuertemente diferenciable o estrictamente diferenciable en a si existe una f * ( a ) real tal que
Una función estrictamente diferenciable en a es diferenciable en a y la derivada fuerte es igual a la derivada clásica, pero existen funciones diferenciables que no son fuertemente diferenciables. Este es el caso, por ejemplo, de la función f ( x ) = x 2 sin (1 / x ) extendida por continuidad en 0 estableciendo f (0) = 0 que es diferenciable en 0 pero no fuertemente diferenciable en este punto.
Si la función f es continuamente diferenciable en a, entonces es fuertemente diferenciable en a, pero existen funciones fuertemente diferenciables en a cuya derivada en a no es continua. Si f es fuertemente diferenciable en un abierto, entonces es continuamente diferenciable en este mismo abierto.