Aplicación de Lipschitzian

En el análisis matemático , un mapa de Lipschitz (llamado así por Rudolf Lipschitz ) es un mapa que posee una cierta propiedad de regularidad que es más fuerte que la continuidad . Intuitivamente, es una función limitada en su forma de evolucionar. Cualquier segmento que conecte dos puntos de la gráfica de dicha función tendrá una pendiente menor, en valor absoluto, que una constante llamada constante de Lipschitz .

Las funciones Lipschitzianas son un caso especial de funciones Hölderianas .

Definiciones

Caso real

Sea E parte de ℝ, un mapa yk un número real positivo . ${\ Displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$

Decimos que f es k -lipschitzian si

\ forall (x, y) \ in E ^ {2}, ~ | f (x) -f (y) | \ leq k ~ | xy |.

Caso de espacios métricos

Sea y de espacios métricos , una aplicación yk un real positivo. $(E, d_ {E})$ ${\ Displaystyle (F, d_ {F})}$ $f: E \ a F$

Decimos que f es k -lipschitzian si

\ forall (x, y) \ in E ^ {2}, ~ d_ {F} \ left (f (x), f (y) \ right) \ leq k ~ d_ {E} (x, y).

De más

Se dice que f es Lipschitziana si existe k ≥ 0 tal que f es k -lipschitziana.
Si existen tales k, entonces existe el menor de ellos y se llama constante de Lipschitz de f .
Denotemos con el labio ( f ) esta constante: tenemos ${\ displaystyle {\ text {Labio}} (f) = \ sup _ {x \ neq {y}} \ left ({\ frac {d {\ bigl (} f (x), f (y) {\ bigr )}} {d (x, y)}} \ right)}$
Se dice que f se contrae si existe tal que f es k -lipschitziano, en otras palabras, si Lip ( f ) <1. ${\ Displaystyle k \ en [0,1 [}$
f se llama localmente Lipschitziana si para cualquier punto x de E , existe una vecindad V de x tal que la restricción de f a V es Lipschitziana (para una cierta constante k que puede depender de V , por lo tanto de x ).

Propiedades

Caracterización entre las funciones derivables

Una función $f$ derivable sobre un intervalo real es Lipschitziana si y solo si su derivada está acotada.

Corolarios

Cualquier función real continuamente diferenciable sobre un intervalo real cerrado acotado es Lipschitziana.
En consecuencia, cualquier función continuamente diferenciable sobre un intervalo es localmente Lipschitziana.

Algunas propiedades

Cualquier función Lipschitziana es uniformemente continua y cualquier función localmente Lipschitziana es continua. De hecho, las funciones Lipschitzianas son exactamente las funciones 1-Hölderianas , pero cualquier función Hölderiana es uniformemente continua.
Si una función f definida en un producto de dos espacios métricos ( E 1 , d 1 ) y ( E 2 , d 2 ) es k 1 -lipschitziana con respecto a la primera variable yk 2 -lipschitziana con respecto a la segunda, entonces es ( k 1 + k 2 ) - Lipschitzian, en este producto E = E 1 × E 2 dotado de la distancia d E definida por d E ( x , y ) = max ( d 1 ( x 1 , y 1 ), d 2 ( x 2 , y 2 )). De hecho, entonces tenemos:re F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f ( x 1 , x 2 ), f ( y 1 , x 2 )) + d F ( f ( y 1 , x 2 ), f ( y 1 , y 2 )) ≤ k 1 re 1 ( x 1 , y 1 ) + k 2 re 2 ( x 2 , y 2 ) ≤ ( k 1 + k 2 ) d E ( x , y ).
En un espacio compacto , cualquier función localmente Lipschitziana es Lipschitziana.
Cualquier función Lipschitziana real es ( absolutamente continua y por lo tanto con variación acotada ) derivable casi en todas partes para la medida de Lebesgue y su derivada es esencialmente acotada .
Según un teorema de Rademacher , cualquier función de Lipschitziana definida en ℝ n sigue siendo Lebesgue, diferenciable en casi todas partes. Esto hace que las funciones de Lipschitzian sean muy útiles en varias ramas de las matemáticas, por ejemplo en la teoría geométrica, ya que la diferenciabilidad en casi todas partes es más que suficiente.
Cualquier límite simple f de funciones k -lipschitzianas f n : E → F es k -lipschitzian. De hecho, un límite simple en un compacto es automáticamente uniforme (el Lipschitzianity uniforme implica equicontinuidad, lo que implica una convergencia uniforme en cualquier compacto). Sea ε> 0; mostraremos que f es (k + ε) -lipschitziano. Para todos los puntos x y Y de E tenemos la existencia de un N tal que para n≥N hemos d F ( f ( x ), f n ( x )) ≤ δ (tomando inteligentemente δ = d E ( x , y ) ε / 2) y de manera similar para y (incluso si eso significa tomar el mayor entre N_x y N_y):
d F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f n ( x ), f n ( y )) + 2 δ ≤ kd E (x, y) + ε d E ( x , y ) f siendo (k + ε) -lipschitzian para todo ε, se deduce que f es k-Lipscitzian.
El teorema de Kirszbraun (en) (mostrado para dos espacios euclidianos por Mojżesz David Kirszbraun y luego generalizado por Frederick Valentine) asegura que para dos espacios de Hilbert H 1 , H 2 , una función de Lipschitz en una parte de M 1 y con valores en H 2 puede extenderse a una función Lipschitziana de H 1 completo a H 2 , con la misma constante de Lipschitz.

Ejemplos de

Una aplicación es 0-Lipschitziana si y solo si es constante.
Cualquiera que sea el ε> 0 real, la función raíz cuadrada no es Lipschitziana en [0, ε] ni par (que por continuidad es de hecho equivalente) en] 0, ε] (es solo 1 ⁄ 2 - Hölderian).
La función g definida en el intervalo cerrado acotado [0, 1] por g ( x ) = x 3/2 sin (1 / x ) si x ≠ 0 y g (0) = 0 es diferenciable en todo su dominio, pero no Lipschitzian, debido a derivada ilimitada.

Notas y referencias

Stéphane Balac y Laurent Chupin , Análisis y álgebra: segundo año de matemáticas curso con ejercicios corregidos e ilustraciones con arce , Lausana, PPUR ,2008( leer en línea ) , pág. 558.
Alain Yger y Jacques-Arthur Weil , Matemáticas aplicadas L3: curso completo con 500 pruebas y ejercicios corregidos , París, Pearson,2009( leer en línea ) , pág. 141.
(en) " fractales y auto-semejanza, p.716 " en la Universidad de Indiana
Para una demostración, véase por ejemplo esta sección de la "Funciones de una variable real" de la lección en la Wikiversidad .