Función holomorfa

En el análisis complejo , una función holomórfica es una función con valores complejos , definidos y diferenciables en cualquier punto de un subconjunto abierto del plano complejo ℂ.

Esta condición es mucho más fuerte que la derivabilidad real . Implica (a través de la teoría de Cauchy) que la función es analítica : es indefinidamente diferenciable y es igual a la vecindad de cualquier punto del abierto a la suma de su serie de Taylor . Sigue un hecho notable: las nociones de función analítica compleja y función holomórfica coinciden. Por esta razón, las funciones holomorfas forman el pilar central del análisis complejo.

Definición

Definición : sea un conjunto abierto del conjunto de números complejos y un mapa de in . $U$ $\ mathbb {C}$ $F$ $U$ $\ mathbb {C}$

Decimos que es diferenciable (en el sentido complejo) u holomórfico en un punto de si existe el siguiente límite , llamado derivado de en : $F$ $z_0$ $U$ $F$ $z_0$
${\ Displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ to z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}.}$
Decimos que es holomórfico sobre si es holomórfico en algún punto de . $F$ $U$ $U$
En particular, llamamos a una función entera una función holomórfica en . $\ mathbb {C}$

Se observará que ciertos autores exigen que la función así obtenida sea continua. En realidad, es solo una forma de simplificar las demostraciones; de hecho, la definición aquí presentada implica de todos modos su continuidad (en virtud del teorema de Morera ). $f '$

Ejemplos de

Funciones racionales

Cualquier función polinomial con coeficientes complejos está completa.

Toda función racional con coeficientes complejos es holomórfica sobre el complemento del conjunto de sus polos (es decir, los ceros de su denominador, cuando se escribe en forma irreducible). Por ejemplo, la función inversa es holomórfica en *. ${\ Displaystyle z \ mapsto 1 / z}$ $\ mathbb {C}$

Funciones definidas por una serie completa

Sea una serie completa con coeficientes complejos de radio de convergencia distinto de cero (finito o no); denotamos su disco de convergencia. La función de in definido es holomorfa y para todos , de hecho, esta función es infinitamente diferenciable en . ${\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ $D$
$F$ $D$ $\ mathbb {C}$ ${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ ${\ Displaystyle z \ in D}$ ${\ Displaystyle f '(z) = \ sum _ {n \ geq 1} na_ {n} z ^ {n-1}}$ $D$

La función exponencial es un número entero. Lo mismo ocurre con las funciones trigonométricas (que se pueden definir a partir de la función exponencial mediante fórmulas de Euler ) y funciones hiperbólicas .

Logaritmo complejo

Llamamos determinación del logaritmo complejo en una U abierta de ℂ * cualquier función holomórfica $L$ de U en ℂ tal que para todo $z \in U$ , $exp ( L ( z )) = zo$ lo que es equivalente (en el caso de una relacionada ), función $L$ holomórfica en la derivada de U $z \mapsto1 / z$ para la cual hay $z 0 \in U$ como $exp ( L ( z 0 )) = z 0$ .

En cualquier U abierto de ℂ * donde hay una determinación $L$ del logaritmo, podemos definir, para cualquier entero relativo $k$ , la función $z \mapsto L ( z ) + 2 k πi$ . Cada una de estas funciones es una determinación del logaritmo sobre U , y si U está conectado , son las únicas.

No hay determinación del logaritmo al aire libre *.

Existe una determinación del logaritmo en cualquier abierto del tipo ℂ * \ D donde D es una media línea de ℂ de final 0 (hablamos de " corte "), en particular sobre el conjunto de números complejos privados de la mitad -línea de reales negativos o cero. Entre todas las determinaciones del logaritmo en este abierto, hay una y sólo una que amplía el logaritmo natural real.

De manera más general, hay una determinación del logaritmo en cualquier logaritmo abierto simplemente conectado que no contenga 0.

Funciones de potencia y raíz enésima

En cualquier U abierto de ℂ * donde hay una determinación $L$ del logaritmo, podemos definir, para cualquier número complejo $a$ , una determinación holomórfica en U de la potencia del exponente $a$ estableciendo, para todo $z \in U$ , $z a = exp ( a L ( z ))$ .

En particular, para cualquier número entero $n > 0$ , la función $z \mapsto z 1 / n = exp ((1 / n ) L ( z ))$ verifica la identidad ∀ $z \in U , ( z 1 / n ) n = z$ . Se dice que esta función es una determinación de U de la raíz $n$ -ésima . Podemos denotar $n \sqrt z en$ lugar de $z 1 / n$ (si los reales estrictamente positivos pertenecen a U , entonces puede haber un conflicto entre esta notación y su significado habitual, que sirve para denotar la raíz $n-$ ésima positiva).

Las funciones trigonométricas recíprocas también tienen cortes y son holomórficas en todas partes excepto en los cortes.

Derivado complejo

Las reglas para calcular derivadas en sentido complejo son idénticas a las de las derivadas de las funciones de una variable real : linealidad , derivada de un producto , de un cociente, de una función compuesta. De ello se deduce que las sumas, productos o compuestos de funciones holomorfas son holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas es holomorfa en cualquier abierto donde el denominador no se desvanezca.

Una función holomórfica en un punto es a fortiori continua en este punto.

Cerca de un punto $z 0$ donde la derivada de una función holomórfica $f$ no es cero, $f$ es una transformación conforme , es decir, conserva los ángulos (orientados) y las formas de las figuras pequeñas (pero no las longitudes, en general).

De hecho, su diferencial en el punto $z 0$ es el mapa lineal ℂ , donde : el diferencial, por lo tanto, se identifica con una similitud directa del plano, ya que A no es cero. ${\ Displaystyle df_ {z_ {0}}: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \, u \ mapsto A \, u}$ $A = f '(z_ {0})$

Propiedades

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Si identificamos ℂ con ℝ 2 , entonces las funciones holomórficas en un conjunto abierto de ℂ coinciden con las funciones de dos variables reales que son ℝ-diferenciables en este conjunto abierto y verificamos allí las ecuaciones de Cauchy-Riemann, un sistema de dos ecuaciones con derivadas parciales :

Consideramos una función de una variable compleja, donde $U$ es un conjunto abierto del plano complejo ℂ. Aquí se utilizan las siguientes notaciones: ${\ Displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$

se denota la variable compleja , donde x , y son reales; $z$ $x + {{\ rm {i}}} \, y$
las partes real e imaginaria de se denotan respectivamente y , es decir, donde son dos funciones reales de dos variables reales. $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

Ecuaciones de Cauchy-Riemann : si $f$ es ℝ-diferenciable en un punto $z 0$ de $U$ , las siguientes cuatro propiedades son equivalentes:

$f$ es holomorfa en $z 0$
${\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} (z_ {0})$
${\ frac {\ parcial P} {\ parcial x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ parcial Q} {\ parcial y}} (x_ {0}, y_ {0} )$ y ${\ frac {\ parcial P} {\ parcial y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ parcial Q} {\ parcial x}} (x_ {0}, y_ {0 })$
$\ overline \ partial f (z_ {0}) = 0$ , donde el operador diferencial es, por definición, igual a . $\ overline \ parcial$ ${\ frac 12} \ izquierda ({\ frac \ parcial {\ parcial x}} + {{\ rm {i}}} {\ frac \ parcial {\ parcial y}} \ derecha)$

Tenga en cuenta que cuando $f$ es holomórfica en $z 0$ :

{\ estilo de visualización \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} (z_ {0}) = - {\ rm {i}} \, {\ frac {\ parcial f} {\ y parcial}} (z_ {0})}

{\ Displaystyle f '(z_ {0}) = \ parcial f (z_ {0})}

, donde el operador diferencial es, por definición, igual a .

\ parcial

{\ frac 12} \ izquierda ({\ frac \ parcial {\ parcial x}} - {{\ rm {i}}} {\ frac \ parcial {\ parcial y}} \ derecha)

Vínculos entre funciones holomorfas y armónicas

Mostramos además que las funciones holomórficas son de clase (ver fórmula integral de Cauchy). $C ^ {\ infty}$

Una consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann es que los laplacianos de la parte real y la parte imaginaria de una función holomórfica $f$ son cero:

Si las partes real e imaginaria de se denotan respectivamente y , es decir, si :, donde son dos funciones reales de dos variables reales, tenemos: $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

\ \ Delta P = \ Delta Q = 0

Decimos que y son funciones armónicas . $PAG$ $Q$

También tenemos:

{\ frac {\ P parcial} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial Q} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial P} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial Q } {\ y parcial}} = 0

$PAG$ y se llaman armónicos conjugados . $Q$

Tenemos lo contrario:
cualquier función armónica real de la variable compleja es localmente la parte real de una función holomórfica.

Teorema de la integral de Cauchy

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann permiten probar el lema de Goursat , que es esencialmente el teorema de la integral de Cauchy a continuación en el caso particular de un cordón poligonal, y deducir de él:

Teorema de la integral de Cauchy - Sea $γ$ un bucle rectificable en ℂ $yf$ una función holomórfica en un conjunto abierto simplemente conectado que contiene $γ$ , entonces la integral curvilínea de $f$ en $γ$ es cero:

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = 0.

Este teorema sigue siendo válido si, en un número finito de puntos de la apertura, se supone que la función no es holomórfica sino solo continua.

En particular :

si $γ$ es un bucle simple , entonces, de acuerdo con el teorema de Jordan-Schoenflies , es la frontera de un K compacto conectado y simplemente conectado, y el teorema se aplica (si $γ$ es rectificable) a cualquier función holomórfica en una abierta que contenga K ;
si $f$ es holomórfica en una $U$ abierta y si $γ$ y $Γ$ son dos caminos rectificables estrictamente homotópicos en $U,$ entonces las integrales de $f$ en $γ$ y $Γ$ son iguales.

Podemos evitar usar el lema de Goursat, pero a costa de una hipótesis adicional:

Prueba directa bajo la hipótesis adicional de que

f

es de clase C 1 a trozos

Como en la demostración que usa el lema de Goursat, volvemos (por aproximación y luego cortando ) al caso donde el bucle $γ$ es un polígono simple . El teorema de Green , unido al de Cauchy-Riemann , luego para concluir: si $D$ denota el interior del polígono,

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = \ int _ {\ gamma} (f {\ mathrm d} x + if {\ mathrm d} y) = \ iint _ {D} \ izquierda ({\ frac {\ parcial si} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \ derecha) ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = \ iint _ {D} 0 ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = 0.

Este teorema se generaliza mediante el teorema del residuo a funciones holomorfas que tienen singularidades aisladas .

Primitivo de una función holomórfica

Del teorema anterior deducimos :

Propiedad - Sea

f

una función holomórfica en una U abierta conectada y simplemente conectada,

z 0

un punto de U y

F

la función definida en U por

F (z) = \ int _ {{P (z)}} f (\ xi) ~ {\ mathrm d} \ xi,

donde

P ( z )

es cualquier camino rectificable en U de

z 0

z

. Entonces

F

es una primitiva complejo de

f

en U .

Este teorema sigue siendo válido si, en un número finito de puntos de la apertura, se supone que la función no es holomórfica sino solo continua.

Es importante que el abierto esté simplemente conectado, por lo que la integral de $f$ entre dos puntos no depende de la trayectoria entre estos dos puntos.

Por ejemplo, la función $h : z \mapsto 1 / z$ es holomórfica sobre ℂ *, que está conectada pero no simplemente conectada. La integral de $h$ en el círculo del centro 0 y el radio 1 (atravesada en la dirección trigonométrica) vale $2πi$ , pero vale 0 en un camino cerrado que une 1 consigo mismo sin rodear 0. Por otro lado, se puede definir una antiderivada de $h$ en cualquier conjunto abierto simplemente conectado de ℂ * (cf. determinaciones del logaritmo complejo en la sección "Ejemplos" anterior ).

Fórmula integral de Cauchy y aplicaciones

Fórmula integral

Sea $f$ una función holomórfica en una $U$ abierta de ℂ, entonces si C es un círculo de orientación positiva, centrado en z e incluido (así como su interior) en U.

f (z) = {1 \ sobre 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (\ xi) \ sobre \ xi -z} ~ {\ mathrm d} \ xi.

Representación de la serie completa

Teorema - Sea $f$ una función holomórfica en una $U$ abierta de ℂ, entonces $f$ es analítica en $U$ y para cualquier punto $z 0$ de $U$ , denotando $R$ la distancia (euclidiana) de $z 0$ a ℂ \ $U$ :

\ forall z \ in D (z_ {0}, R), ~~ f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {no}

con

\ forall r \ in] 0, R [, \ quad c_ {n} = {\ frac 1 {2 \ pi i}} \ int _ {{C (z_ {0}, r)}} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {{n + 1}}}} ~ {\ mathrm d} w.

Por lo tanto, $f$ es indefinidamente diferenciable en $U$ , con

{\ Displaystyle \ forall z_ {0} \ in U, f ^ {(n)} (z_ {0}) = c_ {n} .n! = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ int _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} ~ \ mathrm {d} w.}

Notas:

La serie de Taylor en $z 0$ converge en cualquier disco abierto con centro $z 0$ e incluido en $U$ pero, por supuesto, puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor de la determinación principal del logaritmo converge en cualquier disco que no contenga 0, incluso si contiene reales negativos. Ésta es la base del principio de extensión analítica .
Existe una equivalencia entre holomorfia sobre un abierto y analiticidad, analiticidad claramente implicando holomorfia.
Cualquier función holomórfica f es una función analítica , por lo tanto, el principio del máximo , el principio de los ceros aislados, la desigualdad de Cauchy se verifican mediante una función holomórfica.

Propiedad de la media

De la fórmula integral de Cauchy, se deduce en particular que cualquier función holomórfica en un disco abierto que contiene un disco cerrado está completamente determinada dentro de este disco por sus valores en el borde de este: en la fórmula anterior para $c 0$ , el cambio del parámetro $w = z 0 + re iθ$ da:

f (z_ {0}) = {\ frac 1 {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} f (z_ {0} + r {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) ~ {\ mathrm d} \ theta.

El interés de esta fórmula está en el cálculo numérico. De hecho, el cálculo de una integral es más estable que el de las derivadas.
Este resultado claramente sigue siendo válido para la parte real y para la parte imaginaria de $f$ , que son funciones armónicas .

Principio máximo

Sea $f$ una función holomórfica no constante en una $U$ abierta conectada . Entonces $| f |$ admite ningún máximo local en $T$ . Así, si $T$ está delimitada, el máximo de la función $f$ se alcanza en la frontera de $U$ . En otras palabras, en cualquier punto $z$ de $U$ :

{\ Displaystyle | f (z) | \ leq \ sup \ {| f (\ omega) | \ mid \ omega \ in \ U parcial \}}

Demostración

Deje $z 0$ un punto $T$ . La función $f - f ( z 0 )$ no es idénticamente cero por lo tanto, por unicidad de la continuación analítica , existe un entero $k > 0$ y un complejo $α$ distinto de cero tal que

f (z) = f (z_ {0}) + \ alpha (z-z_ {0}) ^ {k} + (z-z_ {0}) ^ {k} \ varepsilon (z),

donde $ε$ es una función de límite cero en $z 0$ .

Si $f ( z 0 ) = 0$ entonces, en la vecindad de $z 0$ , $f$ no desaparece.
Si $f ( z 0 ) \neq 0$ , sea $β$ una $k$ -ésima raíz de $f ( z 0 ) / α$ . Entonces, $f (z_ {0} + t \ beta) = f (z_ {0}) \ left (1 + t ^ {k} + t ^ {k} \ varepsilon _ {1} (t) \ right),$ donde $ε 1$ es una función del límite cero en 0, por lo que para cualquier $t$ real $> 0 que$ sea lo suficientemente pequeño, $| f ( z 0 + t β) | > | f ( z 0 ) |$ .

Así, en ambos casos, $| f |$ no admite un máximo local en $z 0$ .

Secuencias convergentes de funciones holomorfas

Si una secuencia ( $f j$ ) de funciones holomórficas converge a una función $f$ , uniformemente sobre cualquier compacto de la $U$ abierta de ℂ, entonces $f$ es holomórfica y para todo $k$ , la secuencia ( $f j ( k )$ ) de derivadas converge $af (k)$ , uniformemente en $U$ compacta .

El desarrollo de Laurent en torno a un punto singular

Teorema - Sea $f$ una función holomórfica en $U \ A$ con $U$ un conjunto abierto de ℂ y $A$ un subconjunto cerrado de U cuyos elementos están aislados (A es el conjunto de puntos singulares o singularidades aisladas de $f$ en $U$ ).

Entonces, alrededor de cada punto $z 0$ de $U$ , $f$ admite una expansión de Laurent en una corona con (que denota la distancia euclidiana desde el complemento de U en ℂ): ${\ Displaystyle C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}) \ subconjunto UA}$ ${\ Displaystyle 0 <R_ {1} <R_ {2} <d}$ $D$ $z_0$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} -U}$

{\ Displaystyle \ forall z \ in C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}), ~~ f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

con

{\ Displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ ungir _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {( w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} w \ quad {\ text {donde}} \ quad R_ {2}> r> R_ {1}}