Ley de composición interna

En matemáticas , específicamente en álgebra general , una ley de composición interna se aplica , que en dos elementos de un conjunto E , combina un elemento E . En otras palabras, es una operación binaria por la cual E es estable .

La suma y la multiplicación en el conjunto de números naturales son ejemplos clásicos de la ley de composición interna.

Las leyes de composición internas y externas sirven para definir las estructuras algebraicas , que ocupan un lugar privilegiado en el álgebra general .

Presentación

Todos tenemos desde la escuela primaria una idea bastante buena del concepto de operaciones como suma, resta, multiplicación o división. Una operación (interna) en un conjunto es una relación interna en este conjunto, que, con dos elementos cualesquiera de este conjunto, llamados operandos , posiblemente asocia un tercero, único, llamado resultado , siempre en este mismo conjunto.

Para que la operación considerada sea efectivamente una ley de composición interna , debe tener un significado cualesquiera que sean los dos elementos del conjunto elegido (decimos formalmente que la operación debe definirse en todas partes). Entonces :

• la división no es una ley de composición interna en ℝ , porque no podemos dividir por cero: por ejemplo, “3/0” no tiene sentido. Pero esta misma división es una ley de composición interna en ℝ * (conjunto de números reales privados de 0). Finalmente, esta misma operación no es una ley interna de composición en ℤ * porque 2/3 no es un número entero relativo .
• la resta puede ser o no una ley interna de composición dependiendo del conjunto de números considerados:
  • si se trata del conjunto de los números habituales, conocidos como enteros naturales {0, 1, 2, 3, ...}, no es uno, ya que "3 - 5", por ejemplo, n no da como resultado ningún de estos números habituales.
  • si, por el contrario, elegimos el conjunto de enteros relativos, que además de los enteros naturales, contiene los enteros negativos {..., –3, –2, –1}, entonces la resta es efectivamente una ley de composición interna .

Básicamente una ley de composición interna en un conjunto E , o simplemente una ley en E , es un proceso que da un resultado en E para todos los posibles pares de elementos E .

Ejemplos de

En el conjunto de números enteros relativos, la suma es una ley interna de composición que tiene, entre otras, las siguientes propiedades, que se definirán más formalmente en la segunda parte del artículo:

• 0 es un elemento neutral para esta ley: sumarlo a cualquier número da este número nuevamente: por ejemplo, 5 + 0 = 5 y 0 + 8 = 8;
• para cualquier número entero, existe otro número, su opuesto (el término general es elemento simétrico ), como agregado al primero, devuelve el elemento neutro a 0. El opuesto se indica como el signo entero inicial cambiado. Entonces: 3 + (–3) = 0;
• podemos intercambiar los dos elementos alrededor del signo "   ": 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Decimos que la operación es conmutativa  ;+{\ displaystyle +}
• podemos agrupar los elementos como queramos cuando sumamos más de dos: 3 + 5 + 4 se puede calcular de dos formas:
  • calculando primero 3 + 5 = 8 y luego sumando 4 al resultado,
  • o calculando 5 + 4 = 9 antes de calcular 3 + 9.

Estos dos métodos conducen al mismo resultado, que notamos: (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4). Decimos que la operación es asociativa .

Estas cuatro propiedades, existencia de un elemento neutro , existencia de simetría , conmutatividad , asociatividad , se pueden encontrar para otros conjuntos y otras leyes. Así, podemos estudiar todas las traslaciones (es decir los desplazamientos en línea recta: por ejemplo, mover 3 metros hacia la izquierda y 2 metros hacia arriba), y una ley de composición interna sobre este conjunto, la composición  : la composición de dos traslaciones que consisten simplemente en hacer el primer desplazamiento, luego el segundo. Se encuentran las mismas propiedades para la composición que para la adición:

• el neutro es traslación cero, que consiste en no moverse;
• la simetría de una traslación consiste en hacer el mismo desplazamiento en la otra dirección (3 metros a la derecha y 2 metros hacia abajo para el ejemplo anterior): si hacemos ambas sucesivamente, es como si estuviéramos haciendo el desplazamiento cero;
• podemos hacer los desplazamientos en el orden que queramos, encontramos la conmutatividad y la asociatividad .

El conjunto de números enteros relativos con suma y el conjunto de traducciones con composición tienen estas propiedades simples en común. Un conjunto y una ley que tienen estas cuatro propiedades particulares se denominan en álgebra grupo abeliano . El álgebra general se esforzará entonces por buscar propiedades más complejas que surjan de estas cuatro primeras. Estas nuevas propiedades serán entonces válido también para el conjunto de los enteros relativos como para la de traducciones, y para cualquier otro conjunto y cualquier otra ley de composición interna que tiene la estructura de un grupo abeliano, sin que sea necesario hacerlo. Reinicio para cada.

Definicion formal

Llamada ley de composición interna en un conjunto E de cualquier aplicación del producto cartesiano E × E en E . ∗{\ Displaystyle * \,}

Un conjunto E provisto de una ley de composición interna constituye una estructura algebraica llamada magma y se indica "( E , )". ∗{\ Displaystyle * \,} ∗{\ Displaystyle * \,}

Algunos ejemplos triviales, para un conjunto E no vacío:

• mapas constantes: si c pertenece a E  : ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = c  ;∗{\ Displaystyle \, *}
• la aplicación seleccionando el término de la izquierda: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = x  ;∗{\ Displaystyle \, *}
• la aplicación seleccionando el término de la derecha: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = y .∗{\ Displaystyle \, *}

Elementos especiales

Cuadrados y derivadas

• se dice que un elemento es cuadrado si:   vs{\ Displaystyle c \,}∃ X∈mi, X∗X=vs{\ Displaystyle \ existe \ x \ en E, \ x * x = c \,}

A la inversa, cada elemento x   tiene un cuadrado único, generalmente denotado "  x 2  ". Si la ley se anota de forma aditiva, el término de doble se utilizará con preferencia al de cuadrado . Ejemplo: en ℤ, el doble de 3 (para la suma) es 6 y su cuadrado (para la multiplicación) es 9.

• se dice que un elemento es idempotente (de orden 2) o proyector si:   s{\ Displaystyle s \,}s∗s=s{\ Displaystyle s * s = s \,}

En otras palabras, este elemento es su propio cuadrado . Ejemplos:

• todo elemento neutral de una ley es idempotente para esa ley;
• en cualquier conjunto numérico que los contenga, 0 y 1 son los únicos elementos idempotentes para la multiplicación.

Neutros y derivados

Se dice un elemento : mi{\ Displaystyle e}

• neutral a la izquierda si  ;∀X∈mimi∗X=X{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad e * x = x}
• neutral a la derecha si  ;∀X∈miX∗mi=X{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * e = x}
• neutral cuando es neutral a la derecha y a la izquierda.

Ejemplos de

• En ℝ, el elemento neutro de la suma es 0 y el de la multiplicación es 1.
• En el conjunto de partes de un conjunto X , el conjunto vacío es neutral para la unión y el conjunto X es neutral para la intersección .

Todo lo que sea neutral a la izquierda oa la derecha es idempotente.

Si hay un elemento neutral a la izquierda y un elemento neutral a la derecha, entonces la ley admite un elemento neutral único, y cualquier elemento neutral a la izquierda o a la derecha es igual a él.

Cuando hay un elemento neutro  : mi{\ Displaystyle e}

• se dice que un elemento es involutivo si . s{\ Displaystyle s}s∗s=mi{\ Displaystyle s * s = e}El único elemento involutivo e idempotente es el elemento neutro;
• se dice que un elemento es simétrico a la izquierda del elemento si . El elemento es entonces simétrico a la derecha del elemento .a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}a∗B=mi{\ Displaystyle a * b = e}B{\ Displaystyle b}a{\ Displaystyle a}

Absorbentes y derivados

Se dice un elemento : a{\ Displaystyle a}

• absorbente a la izquierda si  :;∀X∈mia∗X=a{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad a * x = a}
• absorbente a la derecha si  :;∀X∈miX∗a=a{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * a = a}
• absorbente si es absorbente a derecha e izquierda.

Ejemplos de

• En ℝ, 0 es absorbente para la multiplicación.
• En el conjunto de piezas de un conjunto X , el conjunto vacío es absorbente para la intersección y el conjunto X es absorbente para la unión.

Cualquier elemento absorbente de la izquierda o de la derecha es idempotente.

Si hay un elemento absorbente a la izquierda y un elemento absorbente a la derecha, entonces la ley admite un solo elemento absorbente, y cualquier elemento absorbente a la izquierda o a la derecha le es igual.

Cuando la ley admite un elemento absorbente , se dice que un elemento es nilpotente (de orden 2) si . 0{\ displaystyle 0}X{\ Displaystyle x}X∗X=0{\ Displaystyle x * x = 0}

Centro de una estructura

Se dice que un elemento es central si . vs{\ Displaystyle c}∀X∈miX∗vs=vs∗X{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * c = c * x}

Los elementos bilaterales neutrales y absorbentes son centrales.

Llamamos centro de E , y escribimos Z ( E ), todos los elementos centrales E .

Regulares y derivados

Se dice un elementos∈mi{\ Displaystyle s \ in E}

• regular a la izquierda o simplificado a la izquierda si:

∀ (X,y)∈mi2 (s∗X=s∗y⇒X=y){\ Displaystyle \ forall \ (x, y) \ in E ^ {2} \ (s * x = s * y \ Rightarrow x = y)} ;

• regular a la derecha o simplificado a la derecha si:

∀ (X,y)∈mi2 (X∗s=y∗s⇒X=y){\ Displaystyle \ forall \ (x, y) \ in E ^ {2} \ (x * s = y * s \ Rightarrow x = y)};

• regular o simplificado cuando es regular a derecha e izquierda  ;
• divisor de cero a la izquierda si hay un elemento absorbente (obviamente único), diferente de, y si:;a{\ Displaystyle a}s{\ Displaystyle s}∃ r∈mi (r≠a∧s∗r=a){\ Displaystyle \ existe \ r \ en E \ (r \ neq a \ wedge s * r = a)}
• divisor de cero a la derecha si hay un miembro absorbente diferente de y: .a{\ Displaystyle a}s{\ Displaystyle s}∃ r∈mi (r≠a∧r∗s=a){\ Displaystyle \ existe \ r \ en E \ (r \ neq a \ wedge r * s = a)}

Los divisores de cero son irregulares . Los elementos nilpotentes distintos del elemento absorbente son divisores de cero .

Pares de elementos

Los pares de elementos también pueden tener propiedades particulares:

• dos elementos y se dirá que es permutable o conmutable si:r{\ Displaystyle r \,}s{\ Displaystyle s \,}r∗s=s∗r{\ Displaystyle r * s = s * r \,}
• dos elementos permutables y se dirá que son simétricos o invertibles si: r{\ Displaystyle r \,}s{\ Displaystyle s \,}
  • hay un elemento neutro ,mi{\ Displaystyle e \,}
  • y :;r∗s=mi{\ Displaystyle r * s = e}
• dos elementos permutables y se denominarán divisores de cero o desintegrantes si: r{\ Displaystyle r \,}s{\ Displaystyle s \,}
  • hay un elemento absorbente ,a{\ Displaystyle a \,}
  • y ninguno de los dos elementos es igual a ,a{\ Displaystyle a \,}
  • y :;r∗s=a{\ Displaystyle r * s = a}

Ejemplo: para enteros relativos, 0 es neutral para la suma, absorbente para la multiplicación y neutral a la derecha para la resta.

Propiedades

Ciertas propiedades de las leyes de composición interna, que son de particular interés, han recibido un nombre. Sea un magma ( E , ); la ley puede presentar las siguientes propiedades: ∗{\ Displaystyle * \,}∗{\ Displaystyle * \,}

Existencia de elementos notables

Se dice una ley

• unificar a la izquierda si hay un elemento neutral a la izquierda. Una ley puede tener varios elementos neutros a la izquierda, siempre que no tenga un elemento neutro a la derecha;
• unificar a la derecha si hay un elemento neutral a la derecha. Una ley puede presentar varios elementos neutros a la derecha, siempre que no presente un elemento neutro a la izquierda;
• unificado (a veces unitario ) si hay un elemento neutral (que entonces es único).

Regularidad y propiedades relacionadas

• ∗{\ Displaystyle * \,}se dice que es regular a la izquierda o simplificable a la izquierda si todos los elementos de E son regulares a la izquierda , es decir, si:

∀ (X,y,z)∈mi3, (X∗y=X∗z)⇒(y=z){\ Displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ (x * y = x * z) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ Displaystyle * \,}se dice que es regular a la derecha o simplificable a la derecha si todos los elementos de E son regulares a la derecha , es decir, si:

∀ (X,y,z)∈mi3, (y∗X=z∗X)⇒(y=z){\ Displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ (y * x = z * x) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ Displaystyle * \,}se dice que es regular o simplificable si todos los elementos de E son regulares , es decir, si:

∀ (X,y,z)∈mi3, [ (X∗y=X∗z)∨(y∗X=z∗X) ]⇒(y=z){\ Displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ [\ (x * y = x * z) \ lor (y * x = z * x) \] \ Rightarrow (y = z) \,} Una ley es regular si y solo si es regular a la izquierda y regular a la derecha .

Asociatividad y propiedades análogas

Se dice una ley : ∗{\ Displaystyle *}

• asociativo si: ∀(X,y,z)∈mi3X∗(y∗z)=(X∗y)∗z{\ Displaystyle \ forall \ left (x, y, z \ right) \ in E ^ {3} \ quad x * (y * z) = (x * y) * z}. La asociatividad de una ley permite prescindir de los paréntesis al repetir la ley; la mayoría de las leyes interesantes son asociativas (ejemplos: suma, multiplicación, composición de relaciones binarias …);
• alternativa si: ∀(X,y)∈mi2[X∗(X∗y)=(X∗X)∗yy(X∗y)∗y=X∗(y∗y)]{\ Displaystyle \ forall \ left (x, y \ right) \ in E ^ {2} \ quad \ left [x * (x * y) = (x * x) * y \ quad {\ text {y}} \ quad (x * y) * y = x * (y * y) \ right]}. Esta propiedad es más débil que la asociatividad;
• poderes asociativos si, cuando un elemento está compuesto por sí mismo varias veces, el orden en que se ejecutan estas composiciones no influye en el resultado (lo que implica en particular :). X∗(X∗X)=(X∗X)∗X{\ Displaystyle x * (x * x) = (x * x) * x}Cuando se verifica esta propiedad, es posible introducir la noción de potencia de un elemento (de ahí el nombre de la propiedad):
  • el n- ésimo de potencia de un elemento x , generalmente denotada por x n , es igual al resultado de la composición de x de acuerdo con , ( n - 1) veces con sí mismo; por lo tanto, x 1 = x , x 2 = x x , x 3 = x x x ,  etc.∗{\ Displaystyle *} ∗{\ Displaystyle *} ∗{\ Displaystyle *} ∗{\ Displaystyle *}
  • si además la ley presenta un elemento neutro e , establecemos x 0 = e∗{\ Displaystyle *}
  • si además el elemento x es invertible ( ver más abajo ), establecemos x –n = ( x n ) −1 .

Otras propiedades

Se dice una ley∗{\ Displaystyle *}

• integra si admite un elemento absorbente y si ningún elemento es divisor de cero;
• conmutativo si.∀ (X,y)∈mi2X∗y=y∗X{\ Displaystyle \ forall \ (x, y) \ in E ^ {2} \ quad x * y = y * x}

La lista de propiedades anterior no es exhaustiva, ni mucho menos. Sin embargo, en este párrafo solo trataremos otro caso: en estructuras algebraicas que comprenden varias leyes, algunas de estas leyes tienen propiedades relacionadas con otras leyes. La más importante de estas leyes relativas es la distributividad.

• Una ley es distributiva a la izquierda en comparación con otra ley si:∗{\ Displaystyle *} ⊥{\ Displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈mi3X∗(y⊥z)=(X∗y)⊥(X∗z){\ Displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3} \ quad x * (y \ bot z) = (x * y) \ bot (x * z) \,}
• Una ley es distributiva correcta con respecto a otra ley si:∗{\ Displaystyle *} ⊥{\ Displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈mi3(X⊥y)∗z=(X∗z)⊥(y∗z){\ Displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3} \ quad (x \ bot y) * z = (x * z) \ bot (y * z) \,}
• Una ley es distributiva con respecto a otra ley si es distributiva tanto a la derecha como a la izquierda con respecto a∗{\ Displaystyle *}⊥{\ Displaystyle \ bot}⊥{\ Displaystyle \ bot}

Por ejemplo, la multiplicación es distributiva con respecto a la suma.

Nota: si además es regular y unificado, entonces su elemento neutro es necesariamente absorbente para la ley . Esto explica, entre otras cosas, por qué, en un campo conmutativo , el elemento neutral de la primera ley no tiene simétrico por la segunda ley. ⊥{\ Displaystyle \ bot}∗{\ Displaystyle *}

Reversibilidad

Esta importante propiedad merece un párrafo aparte. Nos colocaremos en un magma ( E , ) cuya ley unificada asumiremos por tanto que tiene un elemento neutro . Entonces es posible definir los siguientes conceptos: ∗{\ Displaystyle * \,}mi{\ Displaystyle e \,}

• se dice que un elemento es simétrizable a la izquierda o invertible a la izquierda si:s{\ Displaystyle s \,}

∃ s′∈mi, s′∗s=mi{\ Displaystyle \ existe \ s '\ en E, \ s' * s = e \,} s ' entonces se llama un elemento simétrico a la izquierda de s  ;

• Se dice que un elemento es simetrizable a la derecha o invertible a la derecha si:s{\ Displaystyle s \,}

∃ s′∈mi, s∗s′=mi{\ Displaystyle \ existe \ s '\ en E, \ s * s' = e \,} s ' entonces se llama un elemento simétrico a la derecha de s  ;

• Cualquier elemento reversible a la izquierda es regular a la izquierda y lo mismo a la derecha. Si E es finito, lo contrario es cierto porque cualquier inyección de E en E es sobreyectiva (ver las propiedades de las biyecciones ).
• se dice que un elemento es simétrico o invertible cuando es invertible hacia la derecha y hacia la izquierda y los dos simétricos son iguales;s{\ Displaystyle s \,}

s ' se llama entonces un elemento simétrico de s .

• se dice que la ley es simetrizable a la izquierda o invertible a la izquierda si todos los elementos de E son invertibles a la izquierda ;∗{\ Displaystyle * \,}
• se dice que la ley es simetrizable a la derecha o invertible a la derecha si todos los elementos de E son invertibles a la derecha  ;∗{\ Displaystyle * \,}
• se dice que la ley es simetrizable o invertible si todos los elementos de E son invertibles .∗{\ Displaystyle * \,}

Si la ley es además asociativa , hay unicidad, para los elementos simétricos a la izquierda (respectivamente a la derecha ), de sus simétricos a la izquierda (resp. A la derecha). Y si un elemento s es simétrico a la derecha y a la izquierda, entonces sus elementos simétricos a la izquierda y a la derecha son necesariamente iguales entre sí y, por lo tanto, este elemento es simétrico. Entonces, su simetría generalmente se denota "  s -1  ". ∗{\ Displaystyle * \,}

Ejemplos:

• 2 no es symmetrizable para adición en números naturales  ;
• 2 es simétrizable, con simétrico –2, para sumar números enteros relativos  ;
• 2 no es invertible para el producto en números enteros relativos;
• 2 es invertible, inversamente 1/2, para el producto en los racionales .

Nota :

Cuando la ley se observa de forma aditiva, lo simétrico se llama opuesto , y cuando la ley se observa multiplicativamente, lo simétrico se llama inversa .

Número de leyes de composición interna en un conjunto con n elementos

Sea E un conjunto con n elementos.

El número de leyes de composición interna en E es el número de asignaciones de E × E a E , es decir

no(no2){\ Displaystyle n ^ {(n ^ {2})}}.

También podemos contar cuántos de ellos son conmutativos. Una ley conmutativa en E está completamente determinada por su valor x✲y = y✲x para pares { x, y } y su valor x✲x para singletons { x }. El número de estos pares y singletons es , por lo tanto , el número de leyes conmutativas en E es Γno2=(no+12)=no(no+1)2{\ Displaystyle \ Gamma _ {n} ^ {2} = {n + 1 \ Choose 2} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

nono(no+1)/2 {\ Displaystyle n ^ {n (n + 1) / 2} ~}.

Ver también

• Álgebra universal
• Morfismo

Nota

1. Este uso de la expresión "operación binaria" está inspirado en la expresión inglesa "operación binaria" , usada en lugar de "ley de composición". En matemáticas, la palabra "  operación  " también puede designar algo más que una ley de composición interna.

Referencias

• N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas , vol.  II: Álgebra, Capítulos 1 a 3 , Berlín, Springer,1970( Repr.  2007), 2 ª  ed. ( ISBN  978-3-540-33849-9 , presentación en línea )
• Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ]

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