Évariste Galois

Los documentos de Évariste Galois, recopilados por Chevalier, con la ayuda de Alfred Galois, se envían a Joseph Liouville , profesor de Polytechnique . La4 de septiembre de 1843, Liouville anuncia a la Academia de Ciencias que encontró en la tesis de Galois algunos resultados muy interesantes sobre la teoría de ecuaciones algebraicas . En 1846 publicó los manuscritos de Galois en su revista, Journal of Pure Mathematics , lo que inmediatamente les dio influencia internacional.

Así, en la segunda mitad del XIX °  siglo, el trabajo de Galois se toman y se extendió por Enrico Betti , Arthur Cayley , Camille Jordan , Joseph Alfred Serret , Richard Dedekind , Leopold Kronecker , James Cockle , Paul Bachmann y Heinrich Weber . Según Caroline Ehrhardt, la rehabilitación de Galois en la segunda mitad del siglo se debe al hecho de que los matemáticos tienen las herramientas para comprenderlo y que el tema de su investigación está entonces en la agenda. La reputación de Galois ya estaba bien establecida cuando las celebraciones del centenario de la Escuela Normal en 1895 le dieron a Sophus Lie , admitido después de Cauchy en la Academia de Ciencias , para publicar Influencia de Galois en el desarrollo de las matemáticas .

Contribución de Galois

Del álgebra a las matemáticas modernas

Évariste Galois trabajó clásicamente, tanto en continuación como en oposición a sus maestros, en el campo que en su tiempo representó el principal interés de los matemáticos: la construcción de soluciones a ecuaciones. Era muy consciente de la necesidad de liberar la enseñanza y la investigación de los métodos empíricos. El alcance de su trabajo debe, pensó, ser importante, pero su corta vida no le permitió intentar ir más allá de este estrecho campo.

El problema que surgió en su época es el de las características que debe tener cualquier ecuación algebraica para que sus soluciones puedan ser calculadas a partir de sus coeficientes, mediante operadores simples, como suma, multiplicación, extracción de raíz.

Sin embargo, busca desarrollar un método para analizar soluciones y sus relaciones, en lugar de calcular soluciones explícitamente. Comienza por estudiar la posibilidad o no de una resolución, es decir, sustituye al cálculo la búsqueda de condiciones de resolubilidad.

Cambio de paradigma

Presentado a veces como el inventor del concepto de “  grupo formal  ” (pero Galois solo habla de grupos de permutaciones, y ni siquiera explica su estructura), Évariste Galois permitió a sus sucesores deducir de este descubrimiento la teoría de Galois .

Más allá de un nuevo campo de las matemáticas, al descubrir la estructura de ecuaciones resolubles por radicales, Galois, al enfatizar las nociones de simetrías e invariantes , y en su correspondencia, hizo plenamente operativo lo que posteriormente se designó como el concepto de estructura matemática y que ya estaba en funcionamiento. latente en la disertación Sobre funciones simétricas presentada por Augustin-Louis Cauchy a la Academia de Ciencias en 1812 . Sin embargo, Galois no fue más allá de Cauchy al explicar el concepto de estructura, que solo fue desarrollado en toda su extensión en el siglo XX, por ejemplo, por Van der Waerden en su Moderne Algebra  (de) . Sin embargo, su "teoría de la ambigüedad" es siempre fructífero XXI °  siglo. Así, permitió, por ejemplo, a Felix Klein desarrollar la teoría de los recubrimientos en 1877 y luego a Alexandre Grothendieck , en 1960, fusionar la teoría de Galois y la teoría de los recubrimientos.

Estilo moderno

En su prefacio a Escritos y memorias matemáticas de Évariste Galois , Jean Dieudonné está "impresionado por el encanto extrañamente moderno del pensamiento" de Évariste Galois. Según él, "es picante que sus memorias tan concisas sean mucho más claras para nosotros que las presentaciones fibrosas que sus sucesores inmediatos pensaron que debían dar" .

De hecho, durante su vida, Galois recibió críticas por la falta de claridad de sus recuerdos. En su breve informe, Poisson , después de haber comparado los resultados de Galois con los de Abel y cuestionado la posibilidad de determinar las condiciones de solubilidad de las ecuaciones propuestas, criticó, más que la redacción del propio texto, la forma de razonamiento: " Sus argumentos no son ni lo suficientemente claros ni suficientemente desarrollados para que podamos juzgar su veracidad " . Sin embargo, el propio tema desarrollado por Galois fue para demostrar que no es porque los resultados no se pueden dar en extensión que no existen. Incluso precisó que si estos resultados tuvieran que darse de forma explícita, sólo podría indicar el procedimiento a seguir, "sin querer instruirme a mí ni a nadie para que lo haga". En resumen, los cálculos son impracticables. " (Cabe señalar, sin embargo, que el progreso de la informática y las matemáticas experimentales han hecho que estos cálculos sean bastante posibles).

Sucesores de Galois

La nueva teoría de las ecuaciones desarrollada por Évariste Galois es, en particular, la base de la teoría de los recubrimientos , que permitió definir algebraicamente , por ejemplo, objetos topológicos como la banda de Moebius o la botella de Klein . Su disertación sobre teoría de números inició el estudio de campos finitos , que juegan un papel esencial en la criptografía .

Más allá de las diversas aplicaciones de los resultados de Galois, su propio enfoque inició un movimiento de abstracción y consolidación de las matemáticas. Charles Hermite , que tenía, como Joseph-Alfred Serret en Polytechnique, el mismo maestro que Évariste Galois, Louis-Paul-Émile Richard , y que gracias a este último tenía copias de su predecesor, fue el primero en utilizar, desde 1846 , el resultados de éste sobre funciones elípticas , pero en un sentido propio, el de la unificación del álgebra y el análisis , y no en el de la futura teoría de Galois . Corresponderá a Félix Klein , muy inspirado por Galois, plantear en 1872 que las geometrías son grupos , abriendo así el camino a una gran unificación del álgebra y la geometría luego, en el espíritu de Henri Poincaré , a todas las matemáticas en torno a la noción de estructura . Más centrado en la axiomatización de la geometría por sí sola , desarrollado por David Hilbert y Hermann Weyl , Sophus Lie publicará a partir de 1888 el resultado de su investigación basada en la observación de que las transformaciones continuas forman grupos .

Las nociones de derecho interno y de grupo se generalizarán gradualmente más allá de la única teoría de las ecuaciones . En 1854 , Arthur Cayley 's teorema de los extendió a las bases de los espacios vectoriales . En 1871 , Richard Dedekind , a su regreso de París donde siguió con Sophus Lie las lecciones de Gaston Darboux sobre la teoría de Galois desarrolladas por Camille Jordan , aplicó a la teoría de números el concepto de campo de racionalidad que Leopold Kronecker había encontrado en 1870 en la teoría de las ecuaciones de Galois, y así inventa el concepto de cuerpo . Siguieron los desarrollos de Heinrich Weber en 1882 , William Burnside en 1897 y James Pierpont en 1900 , que actualmente se están ampliando en una fructífera investigación, realizada en particular por Vladimir Drinfeld y Laurent Lafforgue , en torno a conjeturas sobre la correspondencia de Langlands .

Al mismo tiempo, el álgebra de Galois se profundizará considerablemente. Desde su presentación que dio al Collège de France en 1860 sobre los desarrollos que Augustin-Louis Cauchy había dado a la obra de Évariste Galois, Camille Jordan en 1870 erigió la teoría de Galois en un sistema autónomo que tomaría su forma actual gracias al resultados de Ludwig Sylow , Ferdinand Frobénius , Émile Picard , Ernest Vessiot y Élie Cartan , luego de Claude Chevalley , André Weil , Emil Artin , Ellis Kolchin  (en) , Walter Feit , y que continúa hoy su desarrollo a través de ciertas obras de Alexandre Grothendieck , y la investigación de los equipos de John Griggs Thompson , Pierre Cartier , Jean-Pierre Serre ...

Obra de arte

Artículos publicados durante su vida

• "Prueba de un teorema sobre fracciones continuas periódicas".

• "Análisis de una disertación sobre la resolución algebraica de ecuaciones".

• “Carta sobre educación científica”.
• "Nota sobre la resolución de ecuaciones numéricas".
• "Notas sobre algunos puntos de análisis".
• “Sobre teoría de números”.

Memoria académica incomprendida durante su vida

“Disertación sobre las condiciones de solubilidad de ecuaciones radicales”.

Se presentó una primera tesis sobre la teoría de ecuaciones enJunio ​​1829en Cauchy, antes de la admisión de Évariste Galois a la Escuela Preparatoria. Después de la revisión, se envió enFebrero 1830a Fourier para el gran premio de matemáticas de la Académie des sciences y luego, según Auguste Chevalier, reescrito a petición de Siméon Denis Poisson, quien rechazó la4 de julio. Con fecha de16 de enero de 1831, es una tercera versión, como lo explica el prefacio que evoca esta incomprensión de Poisson, que fue encontrada por Liouville en los archivos de Galois después de su muerte. Presentado a la Academia en 1843 por Liouville , las memorias fueron finalmente publicadas en 1846 por él. Este texto es aquel en el que Galois sienta las bases de la teoría de grupos sobre la que Felix Klein , Émile Picard y Sophus Lie apoyarán sus propios descubrimientos, y donde estos últimos encontrarán, como declarará en 1895, el proceso generalizador fundacional. matemáticas modernas.

En esta tesis, Évariste Galois buscó estudiar la solubilidad de ecuaciones polinómicas. Demostró que las raíces de un polinomio dividido P se expresan racionalmente en función de los coeficientes y de un número algebraico V obtenido sumando adecuadamente las raíces. El polinomio mínimo de V es por definición la unidad polinomio menor grado de cancelación de V y cuyos coeficientes son expresiones regulares en los coeficientes de P . Sus raíces, necesariamente distintos, para determinar un grupo de permutaciones , o G , las raíces de P . El valor de una función polinomial evaluada en las raíces de P se expresa racionalmente como una función de los coeficientes de P si y solo si este valor permanece sin cambios al hacer una permutación de G act . En particular, si el grupo es trivial, raíces expresan basan racionalmente en coeficientes P .

Évariste Galois deduce de esto que la búsqueda de una resolución por radicales implica la reducción del grupo asociado por sucesivas adiciones de raíces. Esta idea rectora se aplica en esta primera disertación a polinomios de primer grado irreductibles.

Describe un método general y por factorización casi completa de series de composición o "nidos" de subgrupos normales como máximo. La complejidad computacional de los solventes seriales parciales destaca que la resolución de las ecuaciones por fracciones y operaciones de conducto simple en general, la diferencia de los métodos de aproximación, los cálculos astronómicos fuera del alcance humano.

Ensayo inconcluso sobre funciones elípticas

“Disertación sobre ecuaciones modulares de funciones elípticas  ” es un proyecto de publicación desarrollado en la prisión de Sainte-Pélagie y luego en la pensión Faultrier y fechadoFebrero 1832. Interrumpido por el duelo fatal, queda la prueba de un lema fundamental según el cual los diferenciales de integrales son funciones algebraicas , cálculos tirados al papel, tanto más difíciles de poner en orden desde que se utilizó a Galois para hacer todo en mente, también. como los tres primeros párrafos, es decir, media docena de páginas que abren la investigación sobre el análisis trascendental y presagian el análisis complejo moderno .

Manuscritos y borradores inéditos

• "Investigación sobre las superficies de 2 º grado  " [SD], 4 p.Invención del concepto de invariante .
• " Ecuaciones primitivas que son solubles por radicales  ", [nd]
• "Cómo la teoría de las ecuaciones depende de la de las permutaciones  ",Febrero 1830.Fragmento de la “Memoria sobre las condiciones de solubilidad de ecuaciones radicales”, finalmente descartado con otros dos párrafos. También hay una nota separada sobre el caso de las ecuaciones primitivas .
• “Nota I sobre la integración de ecuaciones lineales  ”, [nd], 3 p.
• "Discurso preliminar", Septiembre 1830 ; Prólogo a la publicación, finalmente abandonada, de la “Memoria sobre las condiciones de solubilidad de las ecuaciones radicales”.
• "Adición a la disertación sobre resolución de ecuaciones", [nd], 3 p.
• "Disertación sobre la división de una función elíptica de primera clase", [nd]
• "Discusiones sobre el progreso del análisis puro", [nd], 3 p. La petición de un epistemólogo por la abstracción, el error y el azar rentables, la colegialidad.
• Prefacio a Dos memorias de análisis puros ,Diciembre 1831.Escrito en Sainte-Pélagie para una reedición conjunta de la “Memoria sobre las condiciones de resolubilidad de las ecuaciones por radicales” y el artículo “Sobre la teoría de los números”, es un manifiesto para las matemáticas del futuro donde Galois se muestra plenamente .consciente de la naturaleza revolucionaria de su enfoque y confiado en el éxito futuro de su método de investigación. Dos hojas separadas sugieren un proyecto de publicación más ambicioso, que comprende además la “Memoria sobre ecuaciones modulares de funciones elípticas  ” y una disertación sobre funciones trascendentales .
• "Notas", 29 de diciembre de 1831.Nueve frases de reflexión sobre el hombre de ciencia.
• Dos notas sobre Niels Abel .

Independencia de las obras de Galois y Abel

A menudo se ha comparado a Abel y Galois "tanto por la brevedad de sus vidas como por el tipo de talento y la dirección de su investigación" . Sin embargo, las obras de Galois y Abel son independientes: Galois "tenía sólo un conocimiento parcial" de la obra de Abel sobre los temas que le interesaban. Fue a través de fragmentos publicados en el Bulletin que Galois se enteró de este trabajo.

El trabajo de Abel se publicó en el primer número de Journal de Crelle . Sin embargo, Galois dice que no conocía la obra de Abel cuando envió sus primeros artículos en 1829. Solo pudo conocer estas obras en octubre leyendo los fragmentos publicados en el Bulletin de Férussac . Las cartas póstumas de Abel a Legendre se publicaron en 1830.

Si su trabajo converge, los dos jóvenes, sin duda guiados por la misma intuición, parten cada uno con un problema diferente. Niels Abel demostró ya en 1824 el teorema de Ruffini , la irresolubilidad por radicales de ecuaciones quínticas , es decir, que no existe una ley general para resolver por radicales el conjunto específico de estos polinomios. Nueve años más joven que Niels Abel , tan incomprendido como él, Évariste Galois, sin conocer, salvo a retazos, la obra de su hermano mayor, demuestra la solubilidad por radicales de ecuaciones cuarticas , y por ende de polinomios de grados inferiores o incluso superiores, es decir, define las condiciones para que una ecuación tenga solución por radicales incluidos los de ecuaciones quínticas, tales , que lo tengan. Al hacerlo, confirma el resultado de Abel de que no hay condiciones específicas para las ecuaciones quínticas mientras que las hay para las ecuaciones cuárticas, pero agrega que hay condiciones más generales para cualquier ecuación, algebraica cualquiera que sea su grado. La intuición de Abel es anterior, el resultado de Galois es más general. X5+X+1=0{\ Displaystyle x ^ {5} + x + 1 = 0}

Correspondencia

• A su tío Antoine Demante ,31 de agosto de 1829.Sobre su renuencia a elegir una carrera.
• Al director de la Gazette des écoles ,3 de diciembre de 1830. Derecho de respuesta a los ataques del director de estudios de Ecole Normale, Joseph Daniel Guigniault.
• "A mis camaradas", 30 de diciembre de 1830.Publicado en la Gazette des écoles .
• Al presidente de la Academia de Ciencias de París ,31 de marzo de 1831. Preocupaciones por la segunda desaparición de sus memorias sobre las condiciones de solubilidad de las ecuaciones radicales .
• A Auguste Chevalier, Mayo de 1831.Informarle de su encarcelamiento.
• A su tía Céleste Marie Guinard, Enero 1832.De Sainte Pelagie .
• A Auguste Chevalier, 25 de mayo de 1832.Disculpas por su amarga ironía hacia el sansimonismo y cualquier compromiso.
• A los "patriotas", 29 de mayo de 1832.Solicitud anticipada de perdón para sus futuros asesinos y desmentido de cualquier provocación al duelo  : “Es en un miserable chisme que mi vida se apaga. "
• A Napoleón Lebon y Vincent Delaunay, 29 de mayo de 1832.Pidiendo a sus amigos que atestigüen que hizo todo lo posible para evitar el duelo y que no es el mentiroso que dicen sus oponentes.
• A Auguste Chevalier, 29 de mayo de 1832.Se trata del testamento matemático escrito el día antes del duelo y destinado a la Revista Enciclopédica , que Galois termina con "habrá, espero, gente que encuentre su provecho para descifrar todo este lío. "

Trabajo escolar

• Nota sobre ecuaciones diferenciales parciales , [sd], 4 p.
• Cuaderno
  • "A - Asíntotas de una curva".
  • “B - Principios del cálculo diferencial  ”.
  • "C - Observación".

Doce copias que el alumno de Galois le dio a Louis Richard durante los últimos años de su educación en el Lycée Louis-le-Grand se han guardado . Estas son las demostraciones llevadas a los problemas planteados que permiten comprender el asombro que sienten sus compañeros de Matemática Especial .

Se ha perdido una decimotercera copia, la del concurso general que ganó Évariste Galois en la primavera de 1827. Solo queda la fotografía de la primera página. Sobre ésta aparece la primera pregunta, la ecuación de la proyección de la intersección de una esfera y un cilindro, y la deslumbrante solución propuesta por el alumno.

Celebracion

Imagen legendaria de Évariste Galois

Desde su dramática muerte, Évariste Galois se presentó como un genio incomprendido, un republicano valiente y un matemático ignorado por sus contemporáneos. Su vida fue luego romantizada y distorsionada en numerosas biografías, que tomaron estas imágenes y agregaron otras, como las de un estudiante frustrado o un utópico: “se han dedicado muchas obras y una película al hombre mismo que, mezclando ficción, romance y los hechos, lo presentaron como el prototipo del héroe incomprendido y perseguido ”.

Más tarde, los historiadores de las matemáticas intentaron arrojar nueva luz sobre la vida de Évariste Galois. Sus dos fracasos para ingresar a la École Polytechnique y las dificultades encontradas para publicar ciertas memorias alimentaron profundamente “sus sentimientos de rebelión contra todos los símbolos del poder político”. Su exclusión oficial de la Escuela Preparatoria enEnero 1831y el rechazo de sus memorias en julio por Poisson (que participó en el concilio que excluye a Galois) hizo a Galois "profundamente disgustado por lo que consideraba una prueba más de la incompetencia de los círculos científicos y de su hostilidad hacia él". Galois expresa su enfado en determinadas cartas, acusando abiertamente al director de la Escuela Preparatoria de pertenecer a "liberales doctrinarios" y de mostrar "pedantería ordinaria". El resentimiento de Galois ha sido presentado por algunos autores como una oposición real de los matemáticos de su época a su obra innovadora.

En el margen de la proposición II del memorando de 1830 se menciona la frase "No tengo tiempo [ sic ]" . Esta frase fue interpretada por Auguste Chevalier como prueba de una revisión de las memorias realizada por Galois el día antes del duelo. Confirmó esta tesis con una corrección manuscrita de la Proposición III, acompañada de la fecha de 1832. Otros han retomado y exagerado esta interpretación. Según Eric Temple Bell , Évariste Galois habría escrito su trabajo sobre la resolución de ecuaciones polinomiales por radicales el día antes de su muerte y no habría tenido tiempo de dar los detalles de la demostración. Pero “los desvaríos y otros bordados que Bell et al. añadidos son más significativos de la imagen pública de Galois que del propio Galois ” .

Sin embargo, es cierto que las circunstancias exactas del duelo siguen siendo "muy oscuras". Se han formulado distintas hipótesis: algunos lo han interpretado como un duelo entre rivales, un suicidio romántico, una conspiración policial secreta, que habría organizado el duelo, un ajuste de cuentas entre revolucionarios, incluso un suicidio orquestado con fines políticos. Pero la tesis más probable es la de un “duelo estúpido entre amigos” (los duelos eran habituales en ese momento).

En su última carta, Galois mencionó: “Guarde mi memoria ya que el destino no me ha dado la vida suficiente para que la patria sepa mi nombre. "

Tributos

A veces, simple protagonista de una obra escrita o filmada, también es objeto de múltiples biografías. Más de quince vías públicas, establecimientos educativos, varios edificios, un cráter lunar ,  etc. llevar su nombre. Las celebraciones son numerosas, ya sea en 1895 con motivo del centenario de la École normale supérieure o durante el bicentenario de su nacimiento con numerosos eventos en Francia y, a veces, más allá. Entre ellas se encuentra la conferencia de Alain Connes , poseedor de la Medalla Fields , en la Academia de Ciencias , institución con la que Galois tuvo algunos contratiempos.

Ver también

Bibliografía

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