Ecuaciones equivalentes

En matemáticas, las ecuaciones equivalentes son ecuaciones que tienen las mismas soluciones .

Por ejemplo, las dos ecuaciones y son equivalentes como ecuaciones en el conjunto de números reales positivos , donde tienen una solución , pero no son equivalentes en el conjunto de números reales, porque la primera ecuación tiene entonces una segunda solución . ${\ Displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$ ${\ Displaystyle x-1 = 0}$ $x = 1$ $x = -1$

Las operaciones algebraicas elementales permiten construir ecuaciones equivalentes a una ecuación dada, en general con el objetivo de resolverla:

Si sumamos o restamos la misma expresión de los dos miembros de una ecuación, obtenemos una ecuación equivalente. Por ejemplo, la ecuación es equivalente a la ecuación , como se ve sumando a cada miembro . ${\ Displaystyle -2x + 5 = -2-9x}$ ${\ Displaystyle 7x = -7}$ ${\ Displaystyle 9x-5}$

Si multiplicamos o dividimos por una expresión distinta de cero los dos miembros de una ecuación, obtenemos una ecuación equivalente. Por ejemplo, la ecuación es equivalente a la ecuación , como se ve al dividir cada miembro por 7. ${\ Displaystyle 7x = -7}$ $x = -1$

De manera más general, decimos que los sistemas de varias ecuaciones con varias variables son equivalentes cuando estos sistemas tienen el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y son equivalentes porque cada uno tiene la solución . ${\ Displaystyle x + 4y = -10, \ quad 3x-y = 9}$ ${\ Displaystyle 4x + 3y = -1, \ quad -2x + 5y = -19}$ ${\ Displaystyle x = 2, \ quad y = -3}$

Notas

[ leer en línea ]
[ Sistemas equivalentes ] .