Ecuaciones atmosféricas primitivas

Las ecuaciones primitivas atmosféricas son una versión simplificada de las ecuaciones de Navier-Stokes . Son aplicables en el caso de un fluido en la superficie de una esfera asumiendo que la componente vertical del movimiento es mucho menor que la componente horizontal y que la capa de fluido es muy delgada en relación con el radio de la esfera. Estos supuestos generalmente corresponden al flujo a gran escala, conocido como la escala sinóptica de la atmósfera terrestre , y estas ecuaciones se aplican, por tanto, en meteorología y oceanografía . Los modelos numéricos de predicción meteorológica resuelven estas ecuaciones, o una variante de las mismas, para simular el comportamiento futuro de la atmósfera.

Por otro lado, las ecuaciones primitivas aplicadas a la oceanografía permiten simular el comportamiento de los mares. Reducidos a una sola dimensión, resuelven las ecuaciones de Laplace de la marea, un problema de valor propio del que obtenemos analíticamente la estructura latitudinal de la circulación oceánica .

Definiciones

En general, todas las formas de ecuaciones primitivas relacionan cinco variables y su evolución en el tiempo:

$tu$ es la velocidad zonal (dirección este / oeste, tangente a la esfera).
$v$ es la velocidad sur (dirección norte / sur).
w es el movimiento vertical (altitud)
$T$ es la temperatura
$\ phi$ es el geopotencial

También utilizan variables conocidas:

$F$ es la Coriolis factor de que es igual a con la velocidad de rotación de la Tierra ( radianes / hora) y la latitud. ${\ Displaystyle 2 \ Omega \ sin (\ phi)}$ $\Omega$ ${\ Displaystyle 2 \ pi / 24}$ $\ phi$
$R$ es la constante del gas ideal
$pag$ es la presion
$c_p$ es el calor específico a presión constante
$J$ es el flujo de calor por unidad de tiempo y masa
$\ Pi$ es la función de Exner
$\ theta$ es la temperatura potencial

Varias formas de ecuaciones primitivas

La representación de las ecuaciones primitivas depende de las coordenadas verticales utilizadas. Podemos usar la presión , el logaritmo de la presión o las llamadas coordenadas “sigma” que son una relación entre la presión a un nivel y la presión superficial. Además, la velocidad , la temperatura y el geopotencial se pueden descomponer en su valor medio y su valor de perturbación de acuerdo con la descomposición de Reynolds .

En presión y coordenadas cartesianas

Si usamos la presión como coordenadas verticales y (x, y) como coordenadas horizontales tangenciales a la esfera , despreciando la curvatura de la Tierra , obtenemos una representación simple de los procesos físicos involucrados:

El movimiento del aire o los mares en un sistema rotatorio es un equilibrio entre varias fuerzas: la fuerza de Coriolis , el gradiente de presión, la gravedad , la fuerza centrífuga y la fricción . De acuerdo con el segundo principio de Newton, sumamos estas fuerzas para conocer la fuerza total ejercida sobre el fluido:

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} = - f {\ vec {k}} \ times {\ vec {V}} - (\ nabla p / \ rho) - { \ vec {g}} ^ {*} \ + {\ frac {{\ vec {V}} ^ {2}} {R_ {c}}} + F_ {r} \ qquad {\ begin {cases} {\ vec {V}} = (u, v, w) \\ F_ {r} = {\ text {Fricción}} \\ {\ vec {g}} ^ {*} = {\ text {aceleración de la gravedad}} \\ R_ {c} = {\ text {Radio de curvatura del flujo}} \ end {cases}}}

Las ecuaciones geostróficas de movimiento (opuestas a la presión y fuerza de Coriolis) se obtienen despreciando la fricción y la fuerza centrífuga. Como el movimiento es horizontal, el cero es vertical. Entonces, al cambiar las coordenadas en geopotencial , obtenemos:

{\ Displaystyle {\ vec {g}} ^ {*}}

\ phi

{\ Displaystyle {\ frac {du} {dt}} - fv = - {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial x}}}

{\ Displaystyle {\ frac {dv} {dt}} + fu = - {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial y}}}

La ecuación de equilibrio hidrostático , donde R es la constante del gas ideal , para el caso especial de movimiento vertical en el que no hay aceleración:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial p}} = - {\ frac {RT} {p}}}

La ecuación de continuidad que conecta la convergencia / divergencia de masa horizontal con el movimiento vertical (sin creación / pérdida de masa, solo cambio de nivel):

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial p}} = 0}

La ecuación de energía termodinámica de la primera ley de la termodinámica

{\ Displaystyle {\ frac {\ T parcial} {\ t parcial}} + u {\ frac {\ T parcial} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ T parcial} {\ parcial y}} + w \ izquierda ({\ frac {\ parcial T} {\ parcial p}} + {\ frac {RT} {pc_ {p}}} \ derecha) = {\ frac {J} {c_ {p}}}}

Añadiendo una ecuación de composición que relaciona el contenido de agua del aire (o sal en el mar) y su variación en el espacio, obtenemos un conjunto de variables que describen el comportamiento de la atmósfera (mar).

En coordenadas sigma y proyección polar estereográfica

Si dividimos la atmósfera no en presión absoluta sino en niveles que tienen la misma relación con la presión superficial, hablamos de coordenadas sigma. Por ejemplo, si dividimos la capa atmosférica en tres niveles: superficie, nivel donde la presión es la mitad que en el suelo y arriba de la atmósfera (presión cero); tendríamos sigma = 1, sigma = 0.5 y sigma = 0.

Por otro lado, la proyección polar estereográfica se puede representar mediante un plano que se coloca en un polo y sobre el que se proyectan los contornos de los continentes como si una luz iluminara el globo desde el centro de la Tierra. El resultado es una proyección cartográfica plana. Esta proyección se puede considerar como una vista de la Tierra sobre el Polo Norte. Esta proyección es adecuada para áreas cercanas a los 60 grados de latitud norte. Es válido hasta el Polo Norte pero no se recomienda para regiones cercanas al ecuador porque las deformaciones aumentan significativamente en cuanto nos acercamos a él.

Al usar estos dos tipos de coordenadas, podemos simplificar las ecuaciones primitivas de la siguiente manera:

Temperatura: ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta T} {\ delta t}} = u \ left ({\ frac {\ delta T} {\ delta x}} \ right) + v \ left ({\ frac {\ delta T} {\ delta y}} \ right) + w \ left ({\ frac {\ delta T} {\ delta z}} \ right)}$
Viento u: ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta u} {\ delta t}} = \ eta v - {\ frac {\ delta \ Phi} {\ delta x}} - C_ {p} \ Theta \ left ({\ frac {\ delta \ pi} {\ delta x}} \ right) -z \ left ({\ frac {\ delta u} {\ delta \ sigma}} \ right) - {\ frac {\ delta {\ frac {\ izquierda (u ^ {2} + y \ right)} {2}}} {\ delta y}}}$

Viento v: ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta v} {\ delta t}} = \ eta \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) - {\ frac {\ delta \ Phi} {\ delta y }} - C_ {p} \ Theta \ left ({\ frac {\ delta \ pi} {\ delta y}} \ right) -z \ left ({\ frac {\ delta v} {\ delta \ sigma}} \ right) - {\ frac {\ delta {\ frac {\ left (u ^ {2} + y \ right)} {2}}} {\ delta y}}}$

Contenido de agua: ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta W} {\ delta t}} = u \ left ({\ frac {\ delta W_ {x}} {\ delta x}} \ right) + v \ left ({\ frac {\ delta W_ {y}} {\ delta y}} \ right) + z \ left ({\ frac {\ delta W_ {z}} {\ delta z}} \ right)}$
Espesor de presión: ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta \ left ({\ frac {\ delta p} {\ delta \ sigma}} \ right)} {\ delta t}} = u \ left [{\ frac {\ left ({ \ frac {\ delta p} {\ delta \ sigma}} \ right) _ {x}} {\ delta x}} \ right] + v \ left [{\ frac {\ left ({\ frac {\ delta p } {\ delta \ sigma}} \ right) _ {y}} {\ delta y}} \ right] + z \ left [{\ frac {\ left ({\ frac {\ delta p} {\ delta \ sigma }} \ derecha) _ {z}} {\ delta z}} \ derecha]}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ Theta: {\ text {Temperatura potencial}} \\\ Phi: {\ text {geopotential}} \\\ sigma: {\ text {nivel sigma}} \ end {cases} }}

En este sistema de coordenadas, varias variables (como la temperatura, la temperatura potencial y el contenido de agua) permanecen en el mismo nivel sigma y se mueven con el viento en ese nivel. Este último se calcula utilizando la altura del geopotencial, el calor específico, la función de Exner ( ) y el cambio de nivel sigma. $\ Pi$

Solución de ecuaciones primitivas

La solución analítica de las ecuaciones primitivas da ondas sinusoidales que varían en el tiempo y el espacio. Por lo tanto, se puede descomponer en armónicos cuyos coeficientes están relacionados con la latitud y la altitud, lo que da lugar a olas y mareas atmosféricas.

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} u, v, \ phi \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} {\ hat {u}}, {\ hat {v}}, {\ hat {\ phi }} \ end {Bmatrix}} e ^ {i (s \ lambda + \ sigma t)}}

{\ Displaystyle s {\ text {y}} \ sigma}

son respectivamente el número de onda zonal y la frecuencia angular.

Para obtener esta solución, es necesario linealizar las ecuaciones y en general simplificarlas utilizando supuestos a menudo poco realistas (sin disipación de las ondas, atmósfera isotérmica, etc.). En aplicaciones prácticas de estas ecuaciones, como la predicción meteorológica, se utilizan métodos de análisis numérico que implican dividir las olas en valores discretos para tener en cuenta todas las variables.

Bibliografía

Beniston, Martin. De la turbulencia al clima: investigaciones numéricas de la atmósfera con una jerarquía de modelos. Berlín: Springer, 1998 .
Firth, Robert. Construcción y precisión de la cuadrícula de modelos meteorológicos de mesoescala y microescala. LSMSA, 2006 .
Pielke, Roger A. Modelado meteorológico de mesoescala. Orlando: Academic Press, Inc., 1984 .
Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Administración Nacional Oceánica y Atmosférica, Servicio Meteorológico Nacional. Manual del Servicio Meteorológico Nacional n o 1 - Productos de fax. Washington, DC: Departamento de Comercio, 1979 .
Thompson, Philip. Análisis y predicción numérica del tiempo. Nueva York: The Macmillan Company, 1961 .

Notas

(in) El problema de la predicción meteorológica, visto desde los puntos de vista de la mecánica y la física por Vilhelm Bjerknes el sitio de NOAA
(en) James R. Holton, Introducción a la meteorología dinámica , Amsterdam, Elsevier Academic Press,2004, 4 ª ed. , 526 p. ( ISBN 0-12-354015-1 , leer en línea ) , “1 y 2” , pág. 5-22, 26-31
http://www.windatlas.ca/en/faq.php#T1Q5 Proyección polar estereográfica en el Atlas canadiense de energía eólica
Manual del Servicio Meteorológico Nacional No. 1 - Productos de fax

Ver también

Enlace externo

Katia Chancibault, " Previsión meteorológica numérica " [PDF] , Riesgos hidrometeorológicos, inundaciones e inundaciones , en yumpu.com , Laboratorio para el estudio de transferencias en hidrología y medio ambiente (LTHE) (consultado el 19 de marzo de 2021 )