Ecuaciones de Lagrange
Las ecuaciones de Lagrange , descubiertas en 1788 por el matemático Joseph-Louis Lagrange , son una reformulación de la mecánica clásica.
Ecuaciones del primer tipo
Esta es una reformulación de la ecuación de Newton , que no involucra las fuerzas de reacción.
Para ello, expresamos las tensiones sufridas por la partícula estudiada en forma de ecuaciones del tipo: gramoI(X→,t)=0{\ Displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0}
Solo hay una ecuación si el movimiento está restringido a una superficie, dos si está restringido a una curva.
Por ejemplo, para el péndulo simple, tenemos la restricción . Si además el movimiento se realiza en el plano de Oxz, sumamos la ecuacióngramo1(X→,t)=r-l=0{\ Displaystyle g_ {1} ({\ vec {x}}, t) = rl = 0}gramo2(X→,t)=y=0{\ Displaystyle g_ {2} ({\ vec {x}}, t) = y = 0}
Suponemos que las fuerzas de reacción (excluyendo la fricción) son ortogonales a la superficie o curva de tensión, luego se escriben en la forma
R→I=λI∇→gramoI , I=1,2{\ Displaystyle {\ vec {R}} _ {i} = \ lambda _ {i} {\ vec {\ nabla}} g_ {i} ~~, ~~ i = 1,2}
Por tanto, las ecuaciones de movimiento son
metror→¨=F→+λ1∇→gramo1+λ2∇→gramo2{\ Displaystyle m {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ vec {F}} + \ lambda _ {1} {\ vec {\ nabla}} g_ {1} + \ lambda _ {2} { \ vec {\ nabla}} g_ {2}}
gramoI(X→,t)=0 , I=1,2{\ Displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0 ~~, ~~ i = 1,2}
Ecuaciones de segundo tipo
En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto se obtiene buscando minimizar una cierta cantidad, llamada acción . El principio de mínima acción indica que un objeto sigue la trayectoria que minimiza la acción en cada instante y las ecuaciones de Lagrange reformulan en este contexto las leyes de la mecánica clásica descubiertas por Isaac Newton .
En mecánica, las ecuaciones de Lagrange permiten obtener muy fácilmente las ecuaciones de movimiento de un sistema complejo sin tener que utilizar la noción de fuerza .
Para un sistema con grados de libertad descritos por coordenadas generalizadas , expresamos el Lagrangiano a partir de las coordenadas generalizadas
y sus derivadas con respecto al tiempo como la diferencia entre energía cinética y energía potencial . Como el tiempo puede figurar explícitamente en el lagrangiano, en última instancia depende de variables.
NO{\ Displaystyle N} NO{\ Displaystyle N} qI{\ Displaystyle q_ {i}} L{\ Displaystyle L} qI{\ Displaystyle q_ {i}}q˙I{\ Displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}2NO+1{\ Displaystyle 2N + 1}
Cuando no se aplica ninguna fuerza externa al sistema, las ecuaciones de Lagrange tienen la siguiente forma:
DDt∂L∂q˙I-∂L∂qI=0{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {i}}} = 0}
Estas ecuaciones se pueden deducir directamente de las leyes de la mecánica clásica. Hay una ecuación para cada coordenada generalizada . Uno de los intereses de estas ecuaciones es poder elegir el sistema de variables más adecuado para describir el sistema.
q˙I{\ Displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}
En la mecánica clásica , el parámetro es el tiempo y estas ecuaciones son las ecuaciones de Lagrange propiamente dichas.
Si el parámetro es la longitud del camino, estas ecuaciones proporcionan la ecuación geodésica .
Establecimiento de ecuaciones
Dado un sistema de coordenadas ninguna , una variable para establecer trayectorias, considere una función que depende sólo de las variables y la derivada total respecto a , . Queremos encontrar las trayectorias finales dadas y , que minimizan la integral
XI{\ Displaystyle x_ {i}}τ{\ Displaystyle \ tau}L{\ Displaystyle L}XI{\ Displaystyle x_ {i}}τ{\ Displaystyle \ tau}X˙I{\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {i}}XI(τ){\ Displaystyle x_ {i} (\ tau)}τ1{\ Displaystyle \ tau _ {1}}τ2{\ Displaystyle \ tau _ {2}}
∫τ1τ2L(XI,X˙I)Dτ{\ Displaystyle \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} L \ left (x_ {i}, {\ dot {x}} _ {i} \ right) \ mathrm {d } \ tau}
Considere una trayectoria infinitamente cercana con un infinitamente pequeño y . Suponiendo que las soluciones se encuentran y se dan, la función
X′(τ)=X(τ)+εξ(τ){\ Displaystyle x '(\ tau) = x (\ tau) + \ varepsilon \ xi (\ tau)}ε{\ Displaystyle \ varepsilon}ξ(τ1)=ξ(τ2)=0{\ Displaystyle \ xi (\ tau _ {1}) = \ xi (\ tau _ {2}) = 0}ξ(τ){\ Displaystyle \ xi (\ tau)}
S(ε)=∫τ1τ2(L(XI,X˙I)+εξ(τ)∂L∂XI+εξ˙(τ)∂L∂XI˙+o(ε))Dτ{\ Displaystyle S \ left (\ varepsilon \ right) = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ left (L \ left (x_ {i}, {\ dot {x }} _ {i} \ derecha) + \ varepsilon \ xi \ izquierda (\ tau \ derecha) {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x_ {i}}} + \ varepsilon {\ dot {\ xi}} \ izquierda (\ tau \ derecha) {\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {x_ {i}}}}} + o \ izquierda (\ varepsilon \ derecha) \ derecha) \ mathrm {d} \ tau}
es mínimo para :
ε=0{\ Displaystyle \ varepsilon = 0}
0=[DSDε](0)=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂XI+ξ˙(τ)∂L∂XI˙)Dτ{\ Displaystyle 0 = \ left [{\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \ right] \ left (0 \ right) = \ int _ {\ tau _ {1} } ^ {\ tau _ {2}} \ izquierda (\ xi \ izquierda (\ tau \ derecha) {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x_ {i}}} + {\ punto {\ xi}} \ izquierda (\ tau \ derecha) {\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {x_ {i}}}}} \ derecha) \ mathrm {d} \ tau}
Integrando por partes el segundo término bajo la integral y aprovechando el hecho de que se ha supuesto cero en los límites, tenemos
ξ{\ Displaystyle \ xi}
0=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂XI-ξ(τ)DDτ∂L∂XI˙)Dτ{\ Displaystyle 0 = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ left (\ xi \ left (\ tau \ right) {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x_ {i}}} - \ xi \ left (\ tau \ right) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {x_ {i}}}}} \ right) \ mathrm {d} \ tau}.
Como la función es arbitraria, debemos tener
ξ{\ Displaystyle \ xi}
∂L∂XI-DDτ∂L∂XI˙=0{\ Displaystyle {\ frac {\ L parcial} {\ X parcial_ {i}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} {\ frac {\ L parcial} { \ parcial {\ dot {x_ {i}}}}} = 0}
Esfuerzos externos
Cuando las fuerzas aplicadas derivan de un potencial generalizado , es decir, verificando
F→{\ Displaystyle {\ vec {F}}}V(X→,X→˙,t){\ Displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}, t)}
FI=DDt∂V∂X˙I-∂V∂XI{\ Displaystyle F_ {i} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial {\ dot {x}} _ {i}} } - {\ frac {\ parcial V} {\ parcial x_ {i}}}}
la ecuación anterior sigue siendo válida, con lagrangiana L=T-V {\ displaystyle L = TV ~}
Cuando se aplica una fuerza que no deriva de un potencial generalizado al sistema en el punto , las ecuaciones de Lagrange se convierten en:
F{\ Displaystyle F}PAG=(X,y,z){\ Displaystyle P = (x, y, z)}
DDt∂L∂q˙I-∂L∂qI=FqI{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {i}}} = F_ {q_ {i}}} o
FqI=∂X∂qI⋅FX+∂y∂qI⋅Fy+∂z∂qI⋅Fz{\ Displaystyle F_ {q_ {i}} = {\ frac {\ parcial x} {\ parcial q_ {i}}} \ cdot F_ {x} + {\ frac {\ parcial y} {\ parcial q_ {i} }} \ cdot F_ {y} + {\ frac {\ parcial z} {\ parcial q_ {i}}} \ cdot F_ {z}}
Un ejemplo de una fuerza que se deriva de un potencial generalizado pero no de un potencial clásico es la fuerza de Lorentz :
F→=qmi→+qv→×B→=DDt∂V∂X→˙-∂V∂X→{\ Displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ V parcial} {\ parcial {\ punto {\ vec {x}}}}} - {\ frac {\ V parcial} {\ parcial {\ vec {x}} }}} con V(X→,X→˙,t)=qϕ-qA→⋅v→{\ Displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}, t) = q \ phi -q {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {v}}}
Por otro lado, la fuerza de fricción del fluido no deriva de ningún potencial, ni siquiera generalizado.
F→=-αv→{\ Displaystyle {\ vec {F}} = - \ alpha {\ vec {v}}}
Apéndices
Artículos relacionados
Ejemplos de
enlaces externos
Notas y referencias
-
(en) Herbert Goldstein, Mecánica clásica
-
Claude Gignoux, Bernard Silvestre-Brac, De la formulación lagrangiana al caos hamiltoniano
-
Joseph Louis Lagrange, Analytical Mechanics ( leer en línea )
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