Ecuación geodésica

En una variedad de Riemann , obtenemos la ecuación de una geodésica expresando que su longitud es mínima, por definición.

Un sistema de coordenadas dado el tensor métrico indica la longitud de una curva infinitesimal: $x ^ {i}$

{\ Displaystyle \ mathrm {d} s = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}}}

El signo opcional se elige de acuerdo con el signo del intervalo y la firma del tensor métrico. $\ pm$

Si la curva está parametrizada mediante una variable , escribimos $\ tau$

{\ Displaystyle {\ dot {s}} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}}}

donde el punto superior representa la derivada total con respecto a . Por tanto, la longitud de la trayectoria es igual a la integral: $\ tau$

{\ Displaystyle \ int {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}} \ mathrm {d} \ tau}

Utilizando el método de Lagrange relativo al cálculo de las variaciones para expresar que la integral es mínima, se obtiene la ecuación geodésica

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ dot {s}}} {\ parcial x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {k}}} \ right) = 0}$

La parametrización canónica de las trayectorias permite obtener una ecuación que involucra los símbolos de Christoffel : ${\ Displaystyle \ tau = s}$

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = 0}

Demostración

Explicando en la ecuación geodésica anterior: ${\ dot {s}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ dot {s}}} {\ parcial x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {k}}} \ right) = 0}

uno tiene, observando la derivada parcial del tensor métrico en comparación con la coordenada k -ésima: ${\ Displaystyle g_ {ij, k} = \ parcial _ {k} g_ {ij}}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2 {\ dot {s}}}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - { \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {1} {\ dot {s}}} g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i } \ right) = 0}

Parametricemos la trayectoria por su longitud , es decir, posemos . Con esta elección, tenemos y la ecuación geodésica se convierte en $s$ ${\ Displaystyle \ tau = s}$ ${\ Displaystyle {\ dot {s}} = 1}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} s}} \ left (g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i} \ right) = 0}

Como el tensor métrico depende pero no explícitamente de , tenemos y la ecuación geodésica toma la forma $x ^ {i}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} g_ {ki}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ tfrac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {j}}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki, j} {\ punto {x}} ^ {i} {\ punto {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

o de nuevo, usando el hecho de que los índices i y j desempeñan papeles simétricas, y por lo tanto que : ${\ Displaystyle g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {kj, i} {\ dot {x}} ^ {i} { \ dot {x}} ^ {j}}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} \ right) {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

Sin embargo, la nulidad de la derivada covariante del tensor métrico permite afirmar que:

{\ Displaystyle g_ {ij, k} = \ Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {jk} ^ {l} g_ {il}}

{\ Displaystyle g_ {ki, j} = \ Gamma _ {kj} ^ {l} g_ {li} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

{\ Displaystyle g_ {kj, i} = \ Gamma _ {ki} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

por lo tanto, usando la simetría del tensor métrico y los símbolos de Christoffel:

{\ Displaystyle g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} = - 2 \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

y entonces :

{\ Displaystyle - \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {ki} {\ ddot {x }} ^ {i} = g_ {kl} {\ ddot {x}} ^ {l}}

cambiando el nombre del índice i a l en el último empate. Basta entonces aplicar la inversa del tensor g para concluir que:

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} ^ {l} = - \ Gamma _ {ij} ^ {l} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}

Ejemplo

Considere el semiplano de Poincaré , cuyos puntos se identifican por un par ( x , y ), con y > 0. La métrica en este semiplano está dada en el punto ( x , y ) por:

{\ Displaystyle g (x, y) = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}}}

El cálculo de los símbolos de Christoffel a partir de este tensor da:

{\ Displaystyle \ Gamma _ {xx} ^ {y} = - \ Gamma _ {xy} ^ {x} = - \ Gamma _ {yx} ^ {x} = - \ Gamma _ {yy} ^ {y} = {\ frac {1} {y}}}

La ecuación de las geodésicas da, observando y : ${\ Displaystyle v_ {x} = {\ dot {x}}}$ ${\ Displaystyle v_ {y} = {\ dot {y}}}$

{\ Displaystyle {\ dot {v}} _ {x} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} v_ {y} = 0}

{\ Displaystyle {\ dot {v}} _ {y} + {\ frac {1} {y}} (v_ {x} ^ {2} -v_ {y} ^ {2}) = 0}

a lo que podemos agregar la ecuación que se utilizó como supuesto para establecer la ecuación de las geodésicas, que da aquí: ${\ Displaystyle g (v_ {x}, v_ {y}) = 1}$

{\ Displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}

Si reemplazamos por en la primera ecuación, obtenemos cuyas soluciones son de la forma de una cierta constante . Entonces la relación cede . $v_ {y}$ ${\ Displaystyle {\ dot {y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dv_ {x}} {dy}} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} = 0}$ ${\ Displaystyle v_ {x} = \ alpha y ^ {2} = {\ dot {x}}}$ $\alfa$ ${\ Displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}$ ${\ Displaystyle v_ {y} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}} = {\ dot {y}}}$

Si es cero, se obtiene respectivamente x constante y (eligiendo adecuadamente el origen de los tiempos). La geodésica es una línea paralela a O y , atravesada exponencialmente. Nos acercamos al borde y = 0 indefinidamente o nos alejamos indefinidamente haciendo que t tienda hacia el infinito. $\alfa$ ${\ Displaystyle y = e ^ {\ pm t}}$

Si no es cero, la integración de la ecuación conduce a (eligiendo adecuadamente el origen de los tiempos). Entonces, la integración de la ecuación conduce a (hasta la traslación paralela a O x ). Se puede ver que y las geodésicas son semicírculos de diámetro portados por O x . Cuando t tiende al infinito, se aproxima indefinidamente al borde O y que constituye un límite del semiplano de Poincaré situado en el infinito. $\alfa$ ${\ Displaystyle {\ dot {y}} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle y = {\ frac {1} {\ alpha \ cosh (t)}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}} = \ alpha y ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {\ tanh (t)} {\ alpha}}}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {1} {\ alpha ^ {2}}}}$

Ver también

Notas y referencias

Usamos la convención de suma de Einstein , lo que permite aclarar los símbolos de suma.