Ecuación diferencial homogénea

La expresión ecuación diferencial homogénea tiene dos significados completamente distintos e independientes.

Ecuación diferencial de primer orden, homogénea de grado n

Una ecuación diferencial de primer orden que no es necesariamente lineal se dice que es homogénea de grado n si se puede escribir en la forma

{\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = F (x, y)}

donde F es una función homogénea de grado n , es decir, que satisface

{\ Displaystyle F (tx, ty) = t ^ {n} F (x, y) \,}

En otras palabras (estableciendo h ( u ) = F (1, u )), es una ecuación que se escribe

{\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = x ^ {n} h \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

El caso n = 0

El caso más estudiado es aquel en el que el grado de homogeneidad es 0, tanto que en este caso ni siquiera se menciona el grado. La resolución de dicha ecuación se realiza separando las variables : gracias a la sustitución , la ecuación homogénea ${\ Displaystyle u (x) = {\ frac {y (x)} {x}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = h \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

se convierte en una ecuación con variables independientes :

{\ Displaystyle {\ frac {u '(x)} {h \ left (u (x) \ right) -u (x)}} = {\ frac {1} {x}}}

Ecuación diferencial lineal homogénea

Se dice que una ecuación diferencial lineal de cualquier orden es homogénea si su segundo miembro es cero, es decir, si tiene la forma

{\ Displaystyle Ly = 0 \,}

donde el operador diferencial L es un mapa lineal e y es la función desconocida.

Ejemplos de

${\ Displaystyle ay '' (x) + by '(x) + cy (x) = 0}$ es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes .

{\ Displaystyle a, b, c}

constantes que se supone que son conocidas

${\ Displaystyle a (x) y '(x) + b (x) y (x) = 0}$ es una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden con coeficientes variables

{\ Displaystyle a (x), b (x)}

funciones que se suponen conocidas <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">