Ecuación diferencial de Lagrange

En matemáticas, la ecuación diferencial de Lagrange es una ecuación diferencial que se puede poner en la siguiente forma

{\ Displaystyle y = a (y ') t + b (y') \,}

por dos continuamente diferenciables funciones una y b . Lleva el nombre del matemático Joseph-Louis Lagrange .

Las funciones afines soluciones llevan el nombre de soluciones singulares . Son de la forma , con . ${\ Displaystyle t \ longmapsto mt + b (m)}$ ${\ Displaystyle a (m) = m \,}$

Las soluciones regulares son las que verifican y no cero. Déjalo entrar . Derivamos los dos miembros de la ecuación y realizamos el cambio de variable , para obtener ${\ Displaystyle y \ C ^ {2}}$ ${\ Displaystyle y '' \,}$ $\ mathbb {R}$ ${\ Displaystyle p = y '\,}$

{\ Displaystyle p = a '(p) {\ frac {dp} {dt}} t + a (p) + b' (p) {\ frac {dp} {dt}} \,}

La ecuación obtenida puede entonces tener la forma

{\ Displaystyle (pa (p)) {\ frac {dt} {dp}} = a '(p) t + b' (p)}

que es una ecuación diferencial lineal de orden uno . Se resuelve explícitamente, lo que da la expresión de p y gracias a la ecuación inicial conocemos y (p).

Éstas no son todas las soluciones. Se pueden obtener soluciones híbridas conectando las anteriores. El teorema de las funciones implícitas muestra que, excepto en la vecindad de puntos excepcionales, podemos expresar localmente como una función de , continuamente diferenciable. Por tanto, no existen otras soluciones que las obtenidas por conexión. ${\ Displaystyle y '\,}$ ${\ Displaystyle x, y \,}$

Ecuación diferencial de Lagrange

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