Ecuación de continuidad

En mecánica de fluidos , el principio de conservación de la masa puede describirse mediante la ecuación de continuidad en varias formas diferentes: local conservador ( derivada en tiempo normal), local no conservador (la derivada en el tiempo sigue a la partícula en su movimiento) o integral . Según los problemas planteados, es una u otra de estas ecuaciones la que podría retenerse, siendo todas equivalentes.

Anotamos aquí:

• ρ=ρ(X→,t){\ Displaystyle \ rho = \ rho ({\ vec {x}}, t)} : la densidad del fluido en el punto identificado por el vector en ese momentoX→{\ Displaystyle {\ vec {x}}}t{\ Displaystyle t}
• U→=U→(X→,t){\ Displaystyle {\ vec {U}} = {\ vec {U}} ({\ vec {x}}, t)} : la velocidad de una partícula de fluido ubicada en el punto identificado por el vector en el instanteX→{\ Displaystyle {\ vec {x}}}t{\ Displaystyle t}

Forma local

Este escrito es el más general y el más extendido.

∂ρ∂t+div(ρU→)=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + {\ hbox {div}} (\ rho \, {\ vec {U}}) = 0}

Al incorporar la noción de derivada de partículas , tenemos la siguiente escritura equivalente:

DρDt+ρ div(U→)=0{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ rho} {\ mathrm {D} t}} + \ rho \ {\ hbox {div}} ({\ vec {U}}) = 0}

Forma integral

Esta formulación permite el estudio de un "bloque" de fluido que posiblemente se pueda deformar con el tiempo. Ω(t){\ Displaystyle \ Omega (t)}

Refleja el hecho de que la masa del fluido encerrada en el volumen es constante. Ω(t){\ Displaystyle \ Omega (t)}

DDt∫Ω(t)ρ(X→,t) DΩ(t)=0{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {\ Omega (t)} \ rho ({\ vec {x}}, t) \ \ mathrm {d } \ Omega (t) = 0}

Flujo incompresible

Si la densidad es constante en el tiempo y uniforme en el espacio ( flujo incompresible ), la ecuación de conservación se reduce a

div(U→)=0{\ Displaystyle {\ hbox {div}} ({\ vec {U}}) = 0}

Condiciones de salto

Cuando el compuesto estudiado consta de dos partes diferentes del fluido separadas por una interfaz que se mueve a una velocidad de propagación local , la conservación de la masa se expresa mediante la siguiente relación: Σ(t){\ Displaystyle \ Sigma (t)}W→(X→,t){\ Displaystyle {\ vec {W}} ({\ vec {x}}, t)}

Δ(ρ(U→-W→))⋅no→=0{\ Displaystyle \ Delta {\ Big (} \ rho ({\ vec {U}} - {\ vec {W}}) {\ Big)} \ cdot {\ vec {n}} = 0}

donde si y son los valores respectivos de la magnitud en los dos fluidos 1 y 2 y es el vector normal a orientado del fluido 1 al fluido 2. Δ(B)=B2-B1{\ Displaystyle \ Delta (b) = b_ {2} -b_ {1}}B1{\ Displaystyle b_ {1}}B2{\ Displaystyle b_ {2}}B{\ Displaystyle b}no→{\ Displaystyle {\ vec {n}}}Σ(t){\ Displaystyle \ Sigma (t)}

Ésta es la base de la relación Rankine-Hugoniot .

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