Ecuación de coagulación de Smoluchowski

La ecuación de coagulación de Smoluchowski es una ecuación de evolución introducida por Marian Smoluchowski en una publicación de 1916, que rige los fenómenos de coalescencia o fragmentación como colisiones de cuerpos celestes, aglomeraciones de gotitas o incluso coagulación sanguínea.

La ecuación de la coagulación

Si asimilamos las partículas coagulantes a su volumen y si consideramos que dos partículas de volúmenes respectivos vyv 'tienen una probabilidad K (v, v') de fusionarse para dar una partícula de volumen v + v ', un balance continuo de materia permite obtener la ecuación integrodiferencial sobre la densidad numérica n ( v , x , t )

Dno(v,X,t)Dt=∂no(v,X,t)∂t+V⋅∇no(v,X,t)=12∫0vK(v-v′,v′)no(v-v′,X,t)no(v′,X,t)Dv′-∫0∞K(v,v′)no(v,X,t)no(v′,X,t)Dv′+S(v,X,t){\ Displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} n (v, x, t)} {\ mathrm {d} t}} & = & {\ frac {\ parcial n ( v, x, t)} {\ parcial t}} + \ mathbf {V} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} n (v, x, t) \\ [0.6em] & = & {\ frac { 1} {2}} \ int _ {0} ^ {v} K (vv ', v') n (vv ', x, t) n (v', x, t) \, {\ rm {d} } v '- \ int _ {0} ^ {\ infty} K (v, v') n (v, x, t) n (v ', x, t) \, {\ rm {d}} v' + S (v, x, t) \ end {matriz}}}

o

V{\ Displaystyle \ mathbf {V}}		es la velocidad de movimiento de las partículas en el medio,
S(v,X,t){\ Displaystyle S (v, x, t)}		un posible término fuente de la creación o modificación de partículas del gas circundante.

El número total de partículas por unidad de volumen se obtiene por integración

NO(X,t)=∫0∞no(v,X,t)Dv{\ Displaystyle N (x, t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} n (v, x, t) \ mathrm {d} v}

Sigue una ecuación análoga a la de n ( v , x , t ).

Núcleo de coalescencia

El operador de coalescencia lineal K puede adoptar varias formas y el comportamiento del sistema depende en gran medida de su tasa de crecimiento. Los casos particulares raros para los que se conocen soluciones teóricas en el caso de un medio homogéneo son, por ejemplo (∇no(v,X,t)=0){\ Displaystyle \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} n (v, x, t) = 0 \ right)}

K=1,K=X+y,K=Xy.{\ Displaystyle K = 1, \ quad K = x + y, \ quad K = xy.}

En el caso general, la resolución es digital y utiliza una discretización de la densidad digital. También utilizamos métodos aproximados basados ​​en la resolución del sistema creado a partir de los momentos de esta densidad.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Ecuación de coagulación de Smoluchowski  " ( consulte la lista de autores ) .

1. (De) Marian Smoluchowski , "  Drei Vorträge über Diffusion, Brownsche Molekularbewegung und Koagulation von Kolloidteilchen  " , Physik. Zeit. , vol.  17,1916, p.  557–571, ​​585–599 ( Bibcode  1916ZPhy ... 17..557S , leer en línea )
2. (en) Sheldon K. Friedlander, humo, polvo y neblina , Oxford University Press ,2000( leer en línea )

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