Ecuación de Böttcher

La ecuación de Böttcher , llamada así por Lucjan Böttcher (1872-1937), es la ecuación funcional

{\ Displaystyle F (h (z)) = (F (z)) ^ {n} ~,}

h es una función analítica dada con un punto fijo súper atrayente de orden n a, es decir: en una vecindad de a, con n ≥ 2 ${\ Displaystyle h (z) = a + c (za) ^ {n} + O ((za) ^ {n + 1}) ~,}$
$F$ es la función desconocida.

El logaritmo de esta ecuación funcional equivale a la ecuación de Schröder .

Solución

Lucian Emil Böttcher esboza una demostración en 1904 sobre la existencia de una solución analítica F en una vecindad del punto fijo a , tal que F ( a ) = 0. Esta solución a veces se llama coordenada de Böttcher . (La demostración completa fue publicada por Joseph Ritt en 1920, quien ignoró la redacción original).

La coordenada de Böttcher (el logaritmo de la función de Schröder ) conjuga h (z) $h (z)$ en una vecindad del punto fijo a la función $z n$ . Un caso particularmente importante es cuando $h (z)$ es un polinomio de grado n, y a = ∞.

Aplicaciones

La ecuación de Böttcher juega un papel fundamental en el campo de la dinámica holomorfa que estudia la iteración de polinomios de una variable compleja .

Fatou , Douady y Hubbard han estudiado las propiedades globales de la coordenada de Böttcher .

Ver también

Ecuación de Schröder

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Ecuación de Böttcher " ( ver la lista de autores ) .

LE Böttcher , " Las principales leyes de convergencia de iteraciones y su aplicación al análisis (en ruso) ", Izv. Kazán. Fiz.-Mat. Obshch. , vol. 14,1904, p. 155–234
Joseph Ritt , “ Sobre la iteración de funciones racionales ”, Trans. Amargo. Matemáticas. Soc , vol. 21, n o 3,1920, p. 348–356 ( DOI 10.1090 / S0002-9947-1920-1501149-6 )
Stawiska, Małgorzata (15 de noviembre de 2013).
CC Cowen , “ Soluciones analíticas de la ecuación funcional de Böttcher en el disco unitario ”, Aequationes Mathematicae , vol. 24,mil novecientos ochenta y dos, p. 187-194 ( DOI 10.1007 / BF02193043 )
P. Fatou , " Sobre ecuaciones funcionales, I ", Boletín de la Sociedad Matemática de Francia , vol. 47,1919, p. 161–271 ( leer en línea )
A. Douady y J. Hubbard , " Estudio dinámico de polinomios complejos (primera parte) ", Publ. Matemáticas. Orsay ,1984( leer en línea )