Ecuación biarmónica
En análisis , la ecuación biharmónica es una ecuación diferencial parcial de orden 4, que aparece por ejemplo en la teoría de la elasticidad . La ecuación biarmónica para una función φ se escribe:
∇4φ=Δ2φ=0{\ Displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = \ Delta ^ {2} \ varphi = 0}
donde ∇ es el operador nabla y Δ el operador laplaciano . El operador Δ 2 también se conoce con el nombre de operador biarmónico o bilaplaciano .
En el caso tridimensional, en un sistema de coordenadas cartesianas , la ecuación biarmónica se escribe:
∂4φ∂X4+∂4φ∂y4+∂4φ∂z4+2∂4φ∂X2∂y2+2∂4φ∂y2∂z2+2∂4φ∂X2∂z2=0.{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parcial x ^ {4}}} + {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parcial y ^ {4}}} + {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parcial z ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parcial y ^ {2} \ parcial z ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parciales x ^ {2} \ parciales z ^ {2}}} = 0.}
En un espacio euclidiano de dimensión n , siempre se verifica la siguiente relación:
∇4(1r)=3(15-8no+no2)r5{\ Displaystyle \ nabla ^ {4} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) = {\ frac {3 (15-8n + n ^ {2})} {r ^ {5}} }}
con r la distancia euclidiana :
r=X12+X22+⋯+Xno2{\ Displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}}
.
que, para n = 3 , es la solución de la ecuación biarmónica.
Una función que es solución de la ecuación biarmónica se denomina función biarmónica . Toda función armónica es biarmónica, lo contrario no es cierto.
El operador biarmónico en coordenadas polares se escribe:
Δ2φ=1r∂∂r(r∂∂r(1r∂∂r(r∂φ∂r)))+2r2∂4φ∂r2∂θ2+1r4∂4φ∂θ4-2r3∂3φ∂θ2∂r+1r4∂2φ∂θ2=0.{\ estilo de visualización \ Delta ^ {2} \ varphi = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r {\ frac {\ parcial} {\ parcial r }} \ izquierda ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial r}} \ derecha) \ derecha) \ derecha) + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parcial r ^ {2} \ parcial \ theta ^ {2} }} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ parcial ^ {4} \ varphi} {\ parcial \ theta ^ {4}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {\ parcial ^ {3} \ varphi} {\ parcial \ theta ^ {2} \ parcial r}} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ parcial \ theta ^ {2}}} = 0.}
Entonces, la solución se puede obtener separando las variables ; es la solución de Michell (en) .
Para ciertas simulaciones numéricas, se podrá utilizar la versión discreta del bilaplaciano.
Δ2tu=tuI+2,j+tuI-2,j+tuI,j+2+tuI,j-2+2(tuI+1,j+1+tuI+1,j-1+tuI-1,j+1+tuI-1,j-1)-8(tuI+1,j+tuI-1,j+tuI,j+1+tuI,j-1)+20tuI,j{\ Displaystyle \ Delta ^ {2} u = u_ {i + 2, j} + u_ {i-2, j} + u_ {i, j + 2} + u_ {i, j-2} +2 \ left (u_ {i + 1, j + 1} + u_ {i + 1, j-1} + u_ {i-1, j + 1} + u_ {i-1, j-1} \ right) -8 \ izquierda (u_ {i + 1, j} + u_ {i-1, j} + u_ {i, j + 1} + u_ {i, j-1} \ right) + 20u_ {i, j}}
Referencias
Ver también
Vínculos internos
enlaces externos
Bibliografía
- Eric W Weisstein, Enciclopedia Concisa de Matemáticas de CRC, CRC Press, 2002. ( ISBN 1-58488-347-2 ) .
- SI Hayek, Métodos matemáticos avanzados en ciencia e ingeniería , Marcel Dekker, 2000. ( ISBN 0-8247-0466-5 ) .
- JP Den Hartog, Advanced Strength of Materials , Courier Dover Publications, 1 de julio de 1987 ( ISBN 0-486-65407-9 ) .
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