Ecuación de diferencia Q

En matemáticas, las ecuaciones en diferencias q forman una familia de ecuaciones funcionales cuyo estudio está relacionado con el de las ecuaciones diferenciales .

En una ecuación de diferencias q, el parámetro q es un número complejo cuyo módulo generalmente se asume que es diferente de 1 (algunos autores requieren que este módulo sea estrictamente mayor que 1, otros que sea estrictamente menor que 1). En un espacio de función de variable compleja, el operador de diferencia q se define por:

{\ Displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = f (qz).}

Desempeña un papel análogo al del operador derivado en ecuaciones diferenciales. Por tanto, una función que satisface la ecuación:

{\ Displaystyle \ sigma _ {q} (f) = f,}

que podemos reescribir en la forma

{\ Displaystyle \ delta _ {q} (f) = 0,}

al establecer , jugará el papel de una función constante : las funciones que verifican esta ecuación, en el campo de las funciones meromórficas , se identifican con el campo de las funciones meromórficas en la curva elíptica , por lo tanto con un campo de funciones elípticas . Se dirá que una ecuación (o sistema) es lineal si tiene la forma: ${\ Displaystyle \ delta _ {q} (f) = {\ frac {\ sigma _ {q} (f) -f} {q-1}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} ^ {*} / q ^ {\ mathbf {Z}}}$

{\ Displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = A (z) f (z),}

donde f es aquí un vector de funciones y A una matriz.

Como el operador de diferencia q tiene solo dos puntos fijos en la esfera de Riemann (0 y $\infty$ ), el estudio local de las soluciones solo se realiza en la vecindad de estos dos puntos.

El estudio de las ecuaciones en diferencias q se realiza a lo largo de varios ejes, similar a ciertos ejes para el estudio de ecuaciones diferenciales:

el estudio de ecuaciones lineales: buscamos reducir una ecuación lineal a una ecuación con coeficientes constantes , siendo B una matriz invertible con coeficientes complejos. Esto es posible mediante transformaciones de calibre y en condiciones técnicas sobre los coeficientes de la ecuación inicial. Al descomponer la matriz B por álgebra lineal, reducimos la resolución de dicho sistema a la resolución de las ecuaciones de los caracteres, para c complejo: ${\ Displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = A (z) f (z)}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {q} (f) (z) = Bf (z)}$

{\ Displaystyle \ sigma _ {q} (f) = cf,}

cuya solución juega un papel análogo a la función de carácter en la teoría diferencial; y una ecuación del logaritmo: ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {c}}$

{\ Displaystyle \ sigma _ {q} (f) = f + 1.}

Estas ecuaciones se resuelven usando la función theta de Jacobi .

Bibliografía

L Di Vizio, JP Ramis, J. Sauloy, C. Zhang, Equations aux q-difference , publicado en La Gazette des mathématiciens , n o 96, 2003.