Transversalidad

En álgebra lineal y geometría diferencial , la propiedad de transversalidad es un calificador para la intersección de subespacios o subvariedades. En cierto modo, es lo opuesto a la noción de tangencia .

Dos subespacios , de un espacio vectorial se llaman transversal cuando . Esta condición se puede reescribir, si es necesario, en términos de codimensión  : F{\ Displaystyle F}GRAMO{\ Displaystyle G} mi{\ Displaystyle E}F+GRAMO=mi{\ Displaystyle F + G = E}

codim⁡(F)+codim⁡(GRAMO)=codim⁡(F∩GRAMO){\ Displaystyle \ operatorname {codim} (F) + \ operatorname {codim} (G) = \ operatorname {codim} (F \ cap G)}

Dos subespacios afines , un espacio afín se denominan transversales si sus direcciones son transversales , es decir, si Y{\ Displaystyle Y}Z{\ Displaystyle Z} X{\ Displaystyle X}

Y→+Z→=X→{\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Z}} = {\ overrightarrow {X}}}

Se dice que dos subvariedades y de una variedad diferencial son transversales cuando, para cualquier punto de , los espacios tangentes y son transversales en el espacio tangente , es decir, si METRO{\ Displaystyle M}NO{\ Displaystyle N} PAG{\ Displaystyle P}X{\ Displaystyle x}METRO∩NO{\ Displaystyle M \ cap N}TXMETRO{\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} M}TXNO{\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} N}TXPAG{\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} P}

TXPAG=TXMETRO+TXNO{\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} P = T_ {x} M + T_ {x} N}

A continuación, designe las dimensiones respectivas de . metro,no,pag{\ Displaystyle m, n, p}METRO,NO,PAG{\ Displaystyle M, N, P}

Notas:

• La definición sigue siendo válida para las variedades banachic.
• Dos subvariedades disjuntas son transversales.
• Si , entonces la condición de transversalidad solo puede verificarse si las subvariedades y son disjuntas.metro+no<pag{\ Displaystyle m + n <p}METRO{\ Displaystyle M}NO{\ Displaystyle N}

Teorema  :  una intersección transversal y no vacía es una subvariedad diferencial de dimensión . METRO∩NO{\ Displaystyle M \ cap N}metro+no-pag{\ Displaystyle m + np}

Por tanto, tenemos en este caso las relaciones

sol⁡(METRO∩NO)=sol⁡(METRO)+sol⁡(NO)-sol⁡(PAG).{\ Displaystyle \ operatorname {dim} (M \ cap N) = \ operatorname {dim} (M) + \ operatorname {dim} (N) - \ operatorname {dim} (P).}

codim⁡(METRO∩NO)=codim⁡(METRO)+codim⁡(NO).{\ Displaystyle \ operatorname {codim} (M \ cap N) = \ operatorname {codim} (M) + \ operatorname {codim} (N).}

Por ejemplo, dos superficies regulares de un espacio tridimensional son transversales si y solo si no tienen un punto de tangencia. En este caso, su intersección forma una curva regular (posiblemente vacía).

Número de intersección

Generosidad

Teorema  -  Si y son dos subvariedades de clase ( ) de dimensiones respectivas y , entonces hay un -diffeomorfismo de , tan cerca de la identidad como se desea en topología , como intersección transversal . METRO{\ Displaystyle M}NO{\ Displaystyle N}VSk{\ Displaystyle C ^ {k}}k≥1{\ Displaystyle \ scriptstyle k \ geq 1}metro{\ Displaystyle m}no{\ Displaystyle n}VSk{\ Displaystyle C ^ {k}}h{\ Displaystyle h}PAG{\ Displaystyle P}VSk{\ Displaystyle C ^ {k}}h(METRO){\ Displaystyle h (M)}NO{\ Displaystyle N}

En general, dos subvariedades se cruzan transversalmente, incluso si eso significa perturbar una de ellas por una isotopía .