Vórtices de Görtler

Los vórtices de Görtler son pares de vórtices longitudinales contrarrotantes que aparecen en una capa límite que se desarrolla en una pared cóncava. Henry Görtler explicó que eran el resultado de la inestabilidad asociada con la aceleración centrífuga.

Estos remolinos interactúan con las ondas de Tollmien-Schlichting , lo que conduce a una transición laminar-turbulenta más rápida que la asociada con la inestabilidad natural, predicha por la ecuación de Orr-Sommerfeld .

Se ha observado experimentalmente que su apariencia depende en gran medida de la turbulencia aguas arriba.

Número de Görtler

Partimos de las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo de capa límite incompresible sobre una placa plana, definido por las ecuaciones de Blasius en un sistema curvilíneo vinculado a la pared (ver figura) y definido por las variables (x, y, z). Definimos una dimensión característica L por

{\ Displaystyle L = {\ sqrt {\ frac {\ nu x} {U _ {\ infty}}}}}

Esta longitud es el espesor de desplazamiento de la capa límite hasta un coeficiente.

El número de Reynolds es

{\ Displaystyle Re = {\ frac {U _ {\ infty} L} {\ nu}}}

con

${\ Displaystyle U _ {\ infty}}$	velocidad fuera de la capa límite
$\desnudo$	viscosidad cinemática
$X$	distancia al origen de la capa límite

Se supone que el radio de curvatura adimensional es pequeño en comparación con la unidad. ${\ Displaystyle {\ frac {R_ {c}} {L}}}$

Definimos el número de Görtler por

{\ Displaystyle G = Re \ left ({\ frac {L} {R_ {c}}} \ right) ^ {1/2}}

Por tanto, este número mide los efectos de la curvatura en comparación con los efectos viscosos.

Perturbaciones de la solución estacionaria

Como en todo problema de estabilidad se superpone a la solución básica una perturbación de la que se estudia la evolución espacio-temporal:

la velocidad reducida por tiene por componentes : se le superpone una perturbación tal que , ${\ Displaystyle U _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ xi, y) = [u (\ xi, y), v (\ xi, y), 0]}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} '(\ xi, y, z) = (u', v ', w')}$ ${\ Displaystyle || \ mathbf {u} '|| << || \ mathbf {u} ||}$
de la misma manera, la presión reducida por es perturbada por el término p 'tal que . ${\ Displaystyle \ rho U _ {\ infty} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle p '<< p}$

Al retener solo los términos del primer orden, el sistema está escrito:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u '} {\ parcial \ xi}} + {\ frac {\ parcial v'} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial w '} {\ parcial z} } = 0}

{\ Displaystyle u {\ frac {\ parcial u '} {\ parcial \ xi}} + u' {\ frac {\ parcial u} {\ parcial \ xi}} + v {\ frac {\ parcial u '} { \ y parcial}} + v '{\ frac {\ u parcial} {\ y parcial}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} u'} {\ parcial y ^ {2}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} u '} {\ parcial z ^ {2}}} = 0}

{\ estilo de visualización u {\ frac {\ parcial v '} {\ parcial \ xi}} + u' {\ frac {\ parcial v} {\ parcial \ xi}} + v '{\ frac {\ parcial v} { \ y parcial}} + v {\ frac {\ v parcial '} {\ y parcial}} + 2G ^ {2} uu' + {\ frac {\ p parcial '} {\ y parcial}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} v '} {\ parcial y ^ {2}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} v'} {\ parcial z ^ {2}}} = 0}

{\ Displaystyle u {\ frac {\ parcial w '} {\ parcial \ xi}} + v {\ frac {\ parcial w'} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial p '} {\ parcial z}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} w '} {\ parcial y ^ {2}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} w'} {\ parcial z ^ {2}} } = 0}

con las condiciones de contorno

{\ Displaystyle u '= v' = w '= 0}

para y

y = 0

{\ Displaystyle y \ to \ infty}

La escritura muestra el número de Görtler como consecuencia del dimensionamiento. Tenga en cuenta que en las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento, la evolución de los componentes en y y z está acoplada con la fluctuación de la presión, pero no en x, que es consistente con la estructura del vórtice.

Este sistema de ecuaciones es de naturaleza parabólica y, por tanto, puede resolverse caminando en el espacio (cálculo avanzando plano por plano).

Resultados

Se utilizaron dos métodos para resolver el problema:

en el primero estudiamos la estabilidad del sistema utilizando una perturbación independiente de x

{\ Displaystyle u '= u' '(y) \ cos (\ alpha z) e ^ {\ beta x}}

{\ Displaystyle v '= v' '(y) \ cos (\ alpha z) e ^ {\ beta x}}

{\ Displaystyle w '= w' '(y) \ sin (\ alpha z) e ^ {\ beta x}}

{\ Displaystyle p '= p' '(y) \ cos (\ alpha z) e ^ {\ beta x}}

donde el número de onda de la perturbación α (un parámetro del problema) está definido por

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {2 \ pi L} {\ lambda _ {d}}}}

β es la solución del problema: β> 0 corresponde a una solución que crece en x, por lo tanto a una situación de inestabilidad. El método entonces consiste en estudiar las soluciones del problema de valores propios como para la ecuación de Orr-Sommerfeld .

el segundo es una simulación directa al caminar en el espacio a partir de una perturbación inicial razonablemente elegida.

Estos dos métodos dan resultados similares: la inestabilidad de Görtler aparece para G> 0.3 y para longitudes de onda largas. Las mediciones del túnel de viento dan lugar a valores significativamente más altos y dependen en gran medida de las perturbaciones.

Referencias

(de) Henry Görtler, " instabilità-umt laminarer Grenzchichten year Konkaven Wiinden gegenber gewissen dreidimensionalen Störungen " , ZAMM , vol. 21,1941, p. 250-252
(en) Henry Görtler, " Sobre la inestabilidad tridimensional de las capas laminar de contorno son paredes cóncavas " , NACA Memorando Técnico , vol. 1375,1954( leer en línea )
(en) Itiro y Tani Yasuhiko Aihara, " Vórtices de Görtler y transición de capa límite " , ZAMP , vol. 20, n o 5,1969, p. 609-618 ( leer en línea )
(en) J. Maciej Floryan, “ En la inestabilidad Görtler de capas límite ” , Avances en Ciencias Aeroespaciales , vol. 28,1991, p. 235-271
(en) Hermann Schlichting y Klaus Gersten ( trad. Del alemán), Boundary Layer Theory , Berlín / Nueva York, Springer ,2000, 799 p. ( ISBN 3-540-66270-7 , leer en línea )
(en) William S. Saric, " Vórtices de Görtler " , Revisión anual de mecánica de fluidos , vol. 26,1994, p. 379-409

Vínculos