Teorema de Rouché
En el análisis complejo , el teorema de Rouché es un enunciado sobre los ceros y los polos de funciones meromórficas . Recibe su nombre en honor al matemático francés Eugène Rouché .
Estados
Dejar ser una simple conexión abierta , dejar que f y g es dos funciones meromorfas en un conjunto finito de ceros y polos. Sea γ un simple encaje con imagen formando el borde de un compacto . sí
U⊂VS{\ Displaystyle U \ subconjunto \ mathbb {C}}
U{\ Displaystyle U}
F{\ Displaystyle F}
U-F{\ Displaystyle UF}
∂K{\ Displaystyle \ K parcial}
K{\ Displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
|F(z)-gramo(z)|<|gramo(z)|{\ Displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}![| f (z) -g (z) | <| g (z) |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a4413165c0a70e8deb01d43bf75808d1a8cea5)
para cualquier punto
z de
γ
entonces
ZF-PAGF=Zgramo-PAGgramo{\ Displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}![{\ Displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd8916938612a296b9f3084211af1e3479e69f1)
donde y son respectivamente el número de ceros y polos de (teniendo en cuenta su multiplicidad) contenidos en .
ZF{\ Displaystyle Z_ {f}}
PAGF{\ Displaystyle P_ {f}}
F{\ Displaystyle f}
K{\ Displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Ejemplo
Considere las dos funciones polinomiales f y g definidas por:
F(z)=z8-5z3+z-2,gramo(z)=-5z3{\ Displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}![{\ Displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d94be86e2195b518083a326fe2702a02e55165)
y considere el círculo para guiñada . Lo comprobamos en este encaje:
VS(0,1): ={z∈VS∣|z|=1}{\ Displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}![{\ Displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e173c7bd87b5224e40dfd308d0e7142e34bb2ac8)
|F(z)-gramo(z)|=|z8+z-2|≤|z|8+|z|+2=4{\ Displaystyle | f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4}![| f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08920986cd97e32e95c5d62aa7cd8f3073b8691)
y
|gramo(z)|=|-5z3|=5{\ Displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}![{\ Displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefc9b0eddd5392e4acacb55adcd93671089cb77)
.
Por tanto, podemos aplicar el teorema de Rouché:
ZF=Zgramo{\ Displaystyle Z_ {f} = Z_ {g}}![Z_ {f} = Z_ {g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b5f06cf0dd326d15406c7870bc64a9cf1cabae)
ya que f y g no tienen polo. Por otro lado, g tiene un triple cero en el origen, lo que por tanto nos dice que la función f admite tres ceros en el disco abierto .
D(0,1){\ Displaystyle D (0,1)}![D (0,1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e278b4ff5c32f3cce4a2ea680f269a5398a7d49)
Demostración
Si es para todos , entonces f y g no desaparecen (de lo contrario, no se podría verificar la desigualdad estricta). Sea h la función meromórfica en , holomórfica y no cancelable en definida por:
|F(z)-gramo(z)|<|gramo(z)|{\ Displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}
z∈γ{\ Displaystyle z \ in \ gamma}
γ{\ Displaystyle \ gamma}
U{\ Displaystyle U}
γ{\ Displaystyle \ gamma}![\gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
h=Fgramo{\ Displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}![{\ Displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be105cd38ab77dce2d10ccec1828db902c92072)
.
Para cualquier punto z de γ ,
|h(z)-1|=|F(z)-gramo(z)||gramo(z)|<1{\ Displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}![{\ Displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d863f26320d6acf150ae9f13fdb64c3fd2a4a67)
.
Por tanto, la imagen de par está contenida en el disco abierto de radio 1 y centro 1 y, en consecuencia, no gira alrededor del origen. Al aplicar el principio del argumento tenemos, por tanto:
γ{\ Displaystyle \ gamma}
h{\ Displaystyle h}
D(1,1){\ Displaystyle D (1,1)}![D (1,1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6606c8ee3e5724a3dfdbe3d04c8b989d5f414c1)
12πI∫γh′(z)h(z)Dz=0{\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17049217603ff500180af8d13b44376c4bd823ba)
.
De otra parte,
h′(z)h(z)=F′(z)F(z)-gramo′(z)gramo(z){\ Displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}![{\ Displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a0bfa250226da5ef6f364ace361c15c4e28eae)
.
En consecuencia,
12πI∫γF′(z)F(z)Dz-12πI∫γgramo′(z)gramo(z)Dz=0{\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfbe7c2d856728cbd28f184889797dd36e4afc1)
.
Finalmente, usando el principio del argumento nuevamente, obtenemos
ZF-PAGF=Zgramo-PAGgramo{\ Displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}![{\ Displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd8916938612a296b9f3084211af1e3479e69f1)
.
Aplicaciones
Sea un polinomio con valores en y definido por:
PAG{\ Displaystyle P}
VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
PAG(z)=a0+a1z+⋯+anozno{\ Displaystyle P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}![P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d08f78bb6c0f1804d3f7314a3d29c3bc8daf61d)
asumiendo . Sea lo suficientemente grande para que para todos (círculo de radio R) tengamos:
ano≠0{\ Displaystyle a_ {n} \ neq 0}
R>0{\ Displaystyle R> 0}
z∈VS(0,R){\ Displaystyle z \ en C (0, R)}![z \ en C (0, R)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52b9462af1c62d90f8754b1aaff900061f2b59d)
|PAG(z)-anozno|=|a0+⋯+ano-1zno-1|<|anozno|{\ Displaystyle | P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a_ {n-1} z ^ {n-1} | <| a_ {n} z ^ {n} |}![| P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a _ {{n-1}} z ^ {{n-1}} | <| a_ {n } z ^ {n} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f167294f426ef1e3d6d43135094505ee4fd721)
(por ejemplo, adecuado).
R=1+max(|a0|,...,|ano-1|)|ano|{\ Displaystyle R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n-1} |)} {| a_ {n} |}}}![R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a _ {{n-1}} |)} {| a_ {n} |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1c53c1dc173942960d3517a82ab29ccb39935f)
Dado que admite un cero de orden en el origen, debe admitir ceros en el disco abierto mediante la aplicación del teorema de Rouché.
anozno{\ Displaystyle a_ {n} z ^ {n}}
no{\ Displaystyle n}
PAG{\ Displaystyle P}
no{\ Displaystyle n}
D(0,R){\ Displaystyle D (0, R)}![D (0, R)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb1e2a10b04b825412ac529e33c090e6293c9b2)
Generalizaciones
Un siglo después, Theodor Estermann debilitó la hipótesis de Rouché, obteniendo:|F(z)-gramo(z)|<|gramo(z)|{\ Displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}![{\ Displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a4413165c0a70e8deb01d43bf75808d1a8cea5)
Deje que f y g sea dos funciones meromorfas dentro de un rectificable bucle único γ y continuo en el límite, y tal que
|F(z)-gramo(z)|<|F(z)|+|gramo(z)|{\ Displaystyle | f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |}![| f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed3249b6e819628c53202b3d33711dffb0d4745)
para cualquier punto
z de
γ .
Entonces, como arriba ,
ZF-Zgramo=PAGF-PAGgramo{\ Displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}![{\ Displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b02121079fb80039f6bb1e689f24a7716cd0d9c)
.
Referencias
-
Revista de la École Polytechnique , 1862, p. 217-218 .
-
(en) T. Estermann, Números complejos y funciones , Athlone Press, Londres, 1962, p. 156.
-
(in) I-Hsiung Lin Classical Complex Analysis: A Geometric Approach , Vol. 1, científico mundial ,2011( ISBN 978-9-81426123-4 , leer en línea ) , pág. 558.
Ver también
Artículo relacionado
Teorema de Hurwitz sobre secuencias de funciones holomórficas
Bibliografía
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">