Teorema de Fejér

En matemáticas , y más precisamente en análisis , el teorema de Fejér es uno de los principales resultados de la teoría de series de Fourier . Proporciona propiedades de convergencia muy generales para la serie de Fourier, cuando se utiliza el proceso de suma Cesàro . Lo demostró el matemático Lipót Fejér en 1900 .

Estados

Teorema de Fejér : Sea $f$ una función localmente integrable y periódica $2π$ . Apuntamos

{\ Displaystyle S_ {n} (f) (x): = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} (f) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} kx}}

el término de orden n de su serie de Fourier , con

{\ Displaystyle c_ {k} (f): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} kt} \, \ mathrm {d} t}

después

{\ Displaystyle \ sigma _ {N} (f) \ colon x \ longmapsto {\ frac {1} {N + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {N} S_ {n} (f) (x )}

el sucesivo Cesàro se refiere a los términos de la serie de Fourier. Entonces tenemos las siguientes declaraciones:

Teorema de Fejér, versión uniforme: Si $f$ es continua, entonces la serie de funciones converge uniformemente a la función $f$ , además, para todo N , $\ sigma_N (f)$ ${\ Displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {\ infty} \ leqslant \ | f \ | _ {\ infty}}$ ;
Teorema de Fejér, versión L p , también llamado teorema de Fejér-Lebesgue: ${\ Displaystyle (1 \ leqslant p <+ \ infty)}$ Si $f$ pertenece al espacio L p , entonces la serie de funciones converge a la función $f$ en el sentido de la norma , además, para todo N , $\ sigma_N (f)$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {p} \ leqslant \ | f \ | _ {p}}$ .

Aplicaciones

Se pueden obtener muchos resultados relacionados con la serie de Fourier como consecuencia del teorema de Fejér. En las siguientes proposiciones, todas las funciones consideradas son $2π$ -periódicas.

La aplicación que asocia sus coeficientes de Fourier con una función integrable es inyectiva.

La inyectividad debe entenderse en el espacio

L 1

, es decir que dos funciones que tienen los mismos coeficientes de Fourier son iguales en casi todas partes. En el caso de dos funciones continuas, son incluso iguales.

El teorema uniforme de Fejér constituye una de las posibles demostraciones del teorema trigonométrico de Weierstrass : si $f$ es una función continua, existe una secuencia de polinomios trigonométricos que converge uniformemente hacia $f$ . De manera similar, el teorema de Fejér-Lebesgue proporciona la prueba de la densidad del espacio de polinomios trigonométricos en los diferentes espacios L p .
Si $f$ es continua y si su serie de Fourier converge a un punto x , entonces necesariamente converge $af ( x )$ .

Esto debe compararse con el comportamiento de la serie de Taylor de una función, que muy bien puede converger hacia un valor diferente al valor de la función.

Podemos usar el teorema de Fejér para demostrar una versión uniforme del teorema de Jordan-Dirichlet : si $f$ es continua y con variación acotada , la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente $af$ .

Notas y referencias

Lipót Fejér, “Sobre funciones integrables y acotadas”, CR Acad. Sci. París , 10 de diciembre de 1900, p. 984-987 , lea en línea .
(de) Leopold Fejér, “Untersuchungen über Fouriersche Reihen”, Math. Annalen , vol. 58 , 1904 , pág. 51-69 .