Teoría de desastres

Este artículo es un borrador para su análisis .

Puedes compartir tus conocimientos mejorándolos ( ¿cómo? ) Según las recomendaciones de los proyectos correspondientes .

En el campo de la topología diferencial , la teoría de las catástrofes , fundada por René Thom , es una rama de la teoría de las bifurcaciones que tiene como objetivo construir el modelo dinámico continuo más simple que pueda generar una morfología , dada empíricamente , o un conjunto de fenómenos discontinuos.

Más precisamente, se trata de estudiar cualitativamente cómo las soluciones de ecuaciones dependen del número de parámetros que contienen. El término "catástrofe" se refiere al lugar donde una función cambia repentinamente de forma.

La ventaja de esta teoría frente al tratamiento habitual de las ecuaciones diferenciales es tener en cuenta funciones que comprenden singularidades , es decir variaciones repentinas.

El nombre "teoría del desastre" es obra de Erik Christopher Zeeman , y no de René Thom.

Historia

La teoría de las catástrofes permite una extensión de la primera teoría de juegos de von Neumann y Morgenstern , una herramienta para analizar situaciones de intereses contrapuestos, con suma cero: de hecho, esta solo trataba de soluciones donde el resultado solo dependía de las elecciones estadísticas o probables de los jugadores, revelando a menudo una curva de silla de montar donde encontramos lo que permitió a uno maximizar sus ganancias y al otro minimizar sus pérdidas. La peculiaridad de esta curva de silla es que para cualquier elección X de una e Y de la otra, solo hay un valor posible del resultado R (-R para el otro jugador, por lo tanto).

Por lo tanto, no fue posible imaginar superficies de respuesta que exhiban un pliegue , donde las opciones X e Y podrían haber presentado resultados R1 y R2 que son diferentes según las opciones anteriores. Esta limitación, y el caso particular del ceño fruncido, llevaron a René Thom a interesarse por estas topologías particulares.

La teoría de las catástrofes salió a la luz en 1972 tras la publicación del libro de René Thom, Structural Stability and Morphogenesis , que marca la llegada de las matemáticas a un campo hasta ahora no formalizado.

Teorema de clasificación

El resultado más famoso obtenido es que solo hay siete formas posibles de "catástrofes" para todas las ecuaciones que dan, en función de un cierto número n de parámetros de entrada, el valor del potencial V de un sistema., Si el número n de estos parámetros no excede de cuatro. A cada uno de ellos se le ha dado un nombre en relación a su forma:

Para un parámetro de entrada ( a ) y ...
- una variable de salida ( x ):
  - el pliegue : $V = x ^ 3 + hacha$
Para dos de entrada parámetros ( una y b ) y ...
- una variable de salida ( x ):
  - el ceño fruncido : $V = x ^ 4 + ax ^ 2 + bx$
Para tres parámetros ( un , b y c ) como entrada y ...
- una variable de salida ( x ):
  - la cola de milano : $V = x ^ 5 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx$
- dos de salida variables ( x y Y ):
  - el ombligo hiperbólico (la onda ): o $V = x ^ 3 + y ^ 3 + axy + bx + cy$
  - el ombligo elíptico (el cabello ): $V = x ^ 3/3 - xy ^ 2 + a (x ^ 2 + y ^ 2) + bx + cy$
Para cuatro parámetros ( un , b , c y d ) como entrada y ...
- una variable de salida ( x ):
  - la mariposa : $V = x ^ 6 + ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx$
- dos de salida variables ( x y Y ):
  - el ombligo parabólico (el hongo ): $V = x ^ 2y + y ^ 4 + ax ^ 2 + por ^ 2 + cx + dy$

Con cinco parámetros, hay cuatro formas adicionales de desastre; por lo tanto, con un máximo de cinco parámetros, solo hay once formas distintas de desastres.

Cuando hay seis o más parámetros , la clasificación de catástrofes se vuelve infinita: aparecen “módulos”.

Aplicaciones

Sus aplicaciones son principalmente en simulaciones de objetos naturales.

También se encuentra en otros campos: geología , mecánica aplicada , hidrodinámica , óptica geométrica , fisiología , biología , lingüística .

Erik Christopher Zeeman ha extendido polémicamente su aplicación a las humanidades .

Jean Petitot , por su parte, amplió su aplicación a la epistemología .

Citas

“[…] La esencia de la teoría de las catástrofes es reducir las aparentes discontinuidades a la manifestación de una evolución lenta subyacente. El problema es entonces determinar esta lenta evolución que, en general, requiere la introducción de nuevas dimensiones, nuevos parámetros. " - René Thom (1991)
“¡El trabajo de Euler sobre pandeo de vigas ya era una teoría de la catástrofe! " - René Thom (1980)

Referencias

Jean Petitot , " Teoría de las catástrofes " , en Encyclopædia Universalis .

Ver también

Bibliografía

(en) Vladimir I. Arnold , Teoría de la catástrofe , Berlín, Springer ,1992, 3 e ed. ( leer en línea )
Ivar Ekeland , " Teoría de la catástrofe " , The Search , n o 811977, p. 745-754 ( leer en línea )Este artículo educativo contiene cifras. Advertencia: hay un error en el artículo de Ekeland: la clasificación de catástrofes elementales es siempre finita (con once formas, como se muestra arriba) cuando hay cinco parámetros o menos. El teorema de Thom no es una explicación posible del hecho de que nuestro espacio-tiempo es tetradimensional, como sugirió Ekeland.
(en) Peter W. Michor (de) , Teoría de la catástrofe elemental , Universidad de Timișoara , coll. "Monografii Matematice" ( n o 24),1985, 93 p. ( leer en línea )
Ian Stewart , ¡Oh! desastre , Belin , 1982
Ian Stewart, Matemáticas , For Science / Belin, 1989
René Thom , Estabilidad estructural y morfogénesis , París, InterÉditions , 1977
René Thom, Modelos matemáticos de morfogénesis , París, Christian Bourgois , 1981
René Thom, Parábolas y catástrofes , coll. " Campos Flammarion " ( n o 186),1983
René Thom, Predecir no es explicar , coll. "Champs Flammarion" ( n o 288),1993
Alexander Woodcock y Monte Davis, La Théorie des catastrophes , Lausanne, L'Âge d'Homme , 1974

Enlace externo

Lucien Dujardin ( Facultad de Farmacia de Lille ), “ Introducción ” , en ldvdujardin.pagesperso-orange.fr