Teorema de representación de Riesz (Riesz-Markov)

En análisis , el teorema de representación de Riesz (algunas versiones a veces se denominan teorema de Riesz- Markov ) es un teorema que "representa" ciertos elementos del dual del espacio de funciones continuas con soporte compacto definido en un espacio topológico localmente compacto con el uso de medidas .

Partiendo de una medida de Borel (positiva) en un espacio topológico X , podemos utilizarla para integrar todas las funciones digitales continuas con soporte compacto . El mapa así definido en el espacio vectorial C c ( X ) compuesto por todas estas funciones es una forma lineal positiva (en el sentido de que envía cualquier función con valores positivos a un real positivo).

El teorema de representación de Riesz establece bajo ciertos supuestos el inverso de esta propiedad: nos damos una forma lineal positiva en C c ( X ), y queremos saber si se puede representar como integral con respecto a una medida de Borel, y si es así si la medida es única.

Hay una gran cantidad de variantes, y hoy en día es más bien una colección de teoremas, algunos de los cuales se presentan a continuación. Las hipótesis útiles para la prueba de existencia están bien estabilizadas de una fuente a otra ( se requiere compacidad local y separación de X ); Por otro lado, existen varias variantes de diversos tecnicismos que hacen posible escribir resultados de unicidad.

Una declaración bastante general

En la declaración a continuación:

• la notación C c ( X ) denota el espacio vectorial de funciones continuas con soporte compacto definido en X y con valores reales;
• decir que una forma lineal Λ definida en C c ( X ) es “positiva” significa que para cualquier f de C c ( X ) con valores positivos, Λ ( f ) ≥ 0;
• se entiende que el término "medida de Borel" significa una medida de Borelia (positiva) finita en los compactos;
• Por "medición internamente regular" se entiende una medición de Borel μ que cumple la siguiente condición:

para cualquier Boreliano A ⊂ X , μ ( A ) = Sup {μ ( K ) | K es compacto y se incluye en A };

• Por último, por "medición cuasi regular" se entiende una medición Boreliana que satisface las dos condiciones siguientes (la primera es una condición de regularidad externa, la segunda una condición de regularidad interna, pero que solo se requiere para las abiertas):

para cualquier Boreliano A ⊂ X , μ ( A ) = Inf {μ ( U ) | U es un abierto que contiene A },para cualquier A ⊂ X abierto , μ ( A ) = Sup {μ ( K ) | K es compacto y se incluye en A }.

Con todas estas convenciones de vocabulario, podemos afirmar:

Teorema  : Sea X un espacio topológico localmente compacto y separado, y sea Λ una forma lineal positiva en C c ( X ). Existe una medida de Borel μ en X que representa Λ en el siguiente sentido:para cualquier f perteneciente a C c ( X ), Λ ( f ) = ∫ f dμ. Además, existe una y solo una medida de Borel en X que, por lo tanto, representa Λ y es internamente regular, y una y solo una que es cuasi regular.

Varios autores señalan que cuando estas dos medidas son distintas, la primera es más útil; por lo tanto, es sobre sus propiedades que se modela una definición actual de lo que se llama una medición de radón .

Usos

Es posible construir la medida de Lebesgue a partir de una teoría elemental de integración de funciones continuas basándose en este teorema, en lugar de basarse en el volumen de los paralelepípedos para iniciar la construcción.

Notas y referencias

1. (en) Heinz Bauer  (de) , Teoría de la medida e integración , Walter de Gruyter , al.  “De Gruyter Studies in Mathematics” ( n o  26),2001, 230  p. ( ISBN  978-3-11-016719-1 , leer en línea ) , pág.  170.
2. (en) Charalambos D. Aliprantis y Kim C. Border Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide Springer2007, 704  p. ( ISBN  978-3-540-32696-0 , leer en línea ) , pág.  487.
3. (en) HL Royden  (de) , Análisis real , Prentice Hall ,1988, 3 e  ed. , 444  p. ( ISBN  978-0-02-946620-9 ) , pág.  352 bajo el nombre de "teorema de Riesz-Markov".
4. Bauer , 2001 , p.  176 o (en) Vladimir Bogacev, teoría de la medida , Berlín, Springer ( n o  2),2007, 575  p. ( ISBN  978-3-540-34513-8 y 3-540-34513-2 , leer en línea ) , p.  116.