Puntos cocíclicos
En geometría, se dice que los puntos del plano son cocíclicos si pertenecen al mismo círculo .
Tres puntos no alineados del plano son cocíclicos. De hecho, cualquier triángulo tiene un círculo circunscrito .
Cuatro puntos cocíclicos
Propiedad - Let , , y
cuatro puntos distintos del plan. Así , , ,
son cíclicos o colineales si y sólo si tenemos la igualdad de los ángulos orientados
A{\ Displaystyle A}
B{\ Displaystyle B}
VS{\ Displaystyle C}
D{\ Displaystyle D}
A{\ Displaystyle A}
B{\ Displaystyle B}
VS{\ Displaystyle C}
D{\ Displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
(VSA→,VSB→)=(DA→,DB→)modificaciónπ.{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {CA}}, {\ overrightarrow {CB}} \ right) = \ left ({\ overrightarrow {DA}}, {\ overrightarrow {DB}} \ right) \ mod \ pi .}
La propiedad anterior es un corolario del teorema del ángulo inscrito .
Si son los respectivos afijos de , también se escribe la condición anterior
a,B,vs,D{\ Displaystyle a, b, c, d}
A,B,VS,D{\ Displaystyle A, B, C, D}![A B C D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684d01c09b12e5a28987c6127567daef29ee3b44)
arg(vs-Bvs-a)=arg(D-BD-a)modificaciónπ{\ Displaystyle \ arg \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right) = \ arg \ left ({\ frac {db} {da}} \ right) \ mod \ pi}
Por lo tanto, usando la relación cruzada , la condición equivalente:
[a,B,vs,D]=(vs-Bvs-a):(D-BD-a){\ Displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)}![{\ Displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc63112aba109f3f62c7d2901d806cc473be54e3)
verdadero
El teorema de Ptolomeo da una condición necesaria y suficiente para la cociclicidad a cuatro puntos de su distancia.
Teorema - Let , , y
cuatro puntos distintos del plan. Estos puntos son cocíclicos si y solo si se verifica una de las siguientes cuatro igualdades:
A{\ Displaystyle A}
B{\ Displaystyle B}
VS{\ Displaystyle C}
D{\ Displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
AB.VSD±AVS.DB±AD.BVS=0{\ Displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}![{\ Displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4510b9ab2b7b5f39d2138f162d5d452ce949fd)
.
La declaración da "cuatro igualdades" porque ± debe leer + o -.
Referencia
-
Dado en esta forma por Marcel Berger , Living Geometry: or Jacob's Scale , Cassini, coll. "Nueva biblioteca matemática",2009( ISBN 9782842250355 ), p. 154 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">