Tensor de Bel-Robinson

En relatividad general , el tensor de Bel-Robinson , llamado así por Lluis Bel e Ivor Robinson, es un tensor diseñado siguiendo un procedimiento similar al del tensor de impulso de energía en electromagnetismo . Este tensor tiene ciertas propiedades que le dan una analogía con el tensor de energía-momento de un campo gravitacional , aunque tal cantidad no puede definirse en la relatividad general .

Fórmula

El tensor de Bel-Robinson, generalmente indicado como T, se define a partir del tensor de Weyl por una u otra de las fórmulas equivalentes:

TaBvsD=VSamivsFVSBmiDF+14ϵamihIϵBmijkVShIvsFVSjkDF{\ Displaystyle T_ {abcd} = C_ {aecf} C_ {b} {} ^ {e} {} _ {d} {} ^ {f} + {\ frac {1} {4}} \ epsilon _ {ae } {} ^ {hola} \ epsilon _ {b} {} ^ {ej} {} _ {k} C_ {hicf} C_ {j} {} ^ {k} {} _ {d} {} ^ {f }}

TaBvsD=VSamivsFVSBmiDF-32gramoa[BVSjk]vsFVSjkDF{\ Displaystyle T_ {abcd} = C_ {aecf} C_ {b} {} ^ {e} {} _ {d} {} ^ {f} - {\ frac {3} {2}} g_ {a [b } C_ {jk] cf} C ^ {jk} {} _ {d} {} ^ {f}}

Propiedades

• El tensor de Bel-Robinson es completamente simétrico (es invariante por intercambio de sus índices).
• Su traza (calculada con respecto a cualquier par de índices, ya que el tensor es simétrico) es cero:

TaavsD=0{\ Displaystyle T ^ {a} {} _ {acd} = 0}

• En el vacío, es decir, cuando el tensor de Riemann es cero, la divergencia del tensor es cero:

DaTaBvsD=0{\ Displaystyle D ^ {a} T_ {abcd} = 0}

• El componente temporal del tensor, es decir, la cantidad , donde u es la velocidad de cuatro de un observador, es positivo o cero, lo que sugiere una densidad de energía .TaBvsDtuatuBtuvstuD{\ Displaystyle T_ {abcd} u ^ {a} u ^ {b} u ^ {c} u ^ {d}}

Notas

1. Lluis Bel , Reseñas de la Academia de Ciencias , 247 , 1094 (1958); Lluis Bel , Actas de la Academia de Ciencias , 248 , 1297 (1959); Ivor Robinson , notas inéditas (1958); Ivor Robinson , Sobre el tensor de Bel-Robinson , Classical and Quantum Gravity , 14 , A331-A333 (1997) Ver en línea (acceso restringido) .

Referencias

• (en) Robert M. Wald , Relatividad General , University of Chicago Press ,1984, 498  p. ( ISBN  0226870332 ), página 90.
• (en) Stanley Deser , The Immortal Bel-Robinson Tensor , artículo en el Iberian Gravity Symposium , In Gravitation and Relativity in General , World Scientific , Singapur (1999), gr-qc / 9901007 Véase en línea .