Suite Padovan

La secuencia de Padovan es la secuencia de números enteros ( P n ) definida por inducción por:

PAG0=PAG1=PAG2=1 y ∀no∈NOPAGno+3=PAGno+1+PAGno.{\ Displaystyle P_ {0} = P_ {1} = P_ {2} = 1 {\ text {y}} \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad P_ {n + 3} = P_ {n + 1 } + P_ {n}.}

Es una secuencia lineal recurrente que en su forma se asemeja a la secuencia de Fibonacci , con un matiz: la suma de los términos de rango n y n + 1 no da el término de rango n + 2 sino el de rango n + 3.

La suite lleva el nombre del arquitecto Richard Padovan  (en) y está asociada al número plástico estudiado por el arquitecto y más tarde monje Hans van der Laan . El matemático Ian Stewart , en sus Recreaciones matemáticas , evoca y estudia esta secuencia y le da el nombre de secuencia Padovan.

El término general de la secuencia de Padovan está relacionado con las tres raíces del polinomio X 3 - X - 1.

El cociente de dos términos consecutivos tiende hacia el número plástico .

Términos y propiedades

La serie de generadores es:

F(X)=1+X1-X2-X3.{\ Displaystyle F (X) = {\ frac {1 + X} {1-X ^ {2} -X ^ {3}}}.}

Esta secuencia de números enteros aumenta estrictamente desde el rango 3; sus términos son:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12,  etc. (continuación A134816 de la OEIS ).

Se expresan en función de las tres raíces r 1 , r 2 y r 3 de X 3 - X - 1 (uno real y dos complejos conjugados):

PAGno=(1-r2)(1-r3)(r1-r2)(r1-r3)r1no+(1-r3)(1-r1)(r2-r3)(r2-r1)r2no+(1-r1)(1-r2)(r3-r1)(r3-r2)r3no.{\ Displaystyle P_ {n} = {\ frac {(1-r_ {2}) (1-r_ {3})} {(r_ {1} -r_ {2}) (r_ {1} -r_ {3 })}} r_ {1} ^ {n} + {\ frac {(1-r_ {3}) (1-r_ {1})} {(r_ {2} -r_ {3}) (r_ {2 } -r_ {1})}} r_ {2} ^ {n} + {\ frac {(1-r_ {1}) (1-r_ {2})} {(r_ {3} -r_ {1} ) (r_ {3} -r_ {2})}} r_ {3} ^ {n}.}

Las fórmulas de Cardan dan a la raíz real el número plástico o la cantidad de dinero:

12+69183+12-69183≈1,32472.{\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {69}} {18}}}} + {\ sqrt [{3}] {{ \ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {69}} {18}}}} \ approx 1.32472.}

Los números de Padovan primero son 2, 3, 5, 7, 37, 151,  etc. (continuación A100891 de la OEIS ).

Variantes

En ocasiones encontramos diferentes inicializaciones como en las suites A000931 , A078027 , A096231 , A124745 , A133034 , A164001 , A182097 , A228361 , A020720 y A001608 de la OEIS .           

Esta última es la secuencia de los números de Perrin  : 3, 0, 2, 3, 2, 5,  etc.

Notas y referencias

1. (en) Eric W. Weisstein , "  Secuencia de Padovan  " en MathWorld .
2. (in) Richard Padovan presenta el número plástico , resumen del Nexus Network Journal
3. (en) Historias de un número descuidado en Recreaciones de Mathematicla Ian Stewart