Suite limitada
En matemáticas , se dice que una secuencia está acotada si el conjunto de sus valores es una parte acotada .
Ejemplos de
Una verdadera secuencia ( u n ) está delimitada si permanece entre dos valores fijos m y M :
(es decir, si el límite superior y el límite inferior del conjunto de sus términos son finitos) o, de manera equivalente, si su valor absoluto se incrementa en una constante M :
Para que una secuencia esté acotada, basta con que sea "de un cierto rango". De hecho, si | x n | ≤ K para todo n > N entonces | x n | ≤ M para todo n , estableciendo M = max (| x 0 |, | x 1 |,…, | x N |, K ).
- Por lo tanto, cualquier secuencia convergente está acotada (por ejemplo, la secuencia u n = (–1) n / ( n + 1), que converge a 0, permanece entre u 1 = –1/2 yu 0 = 1).
- Cualquier secuencia real que tiende a ± ∞ no está acotada (por ejemplo: u n = 2 n , que tiende a + ∞ ).
- Para una secuencia no monótona , los recíprocos son falsos:
- una secuencia acotada no es necesariamente convergente ( contraejemplo : u n = (–1) n está acotada - aumentada en 1 y reducida en –1 - pero no admite un límite);
- para que una secuencia tienda hacia ± ∞ , no es suficiente que sea ilimitada (contraejemplo: la secuencia que vale 0 para n pares y n para n impares).
Una secuencia de números complejos u n = x n + i y n está acotada si su módulo está acotado por una constante o, de manera equivalente, si las dos secuencias reales ( x n ) e ( y n ) constituidas por su parte real y su parte imaginaria está acotada.
Valores de adherencia para una secuencia acotada real
Uno de los grandes intereses de las secuencias acotadas reside en el hecho de que de cualquier secuencia real acotada, podemos extraer una subsecuencia convergente . Esta propiedad, estrechamente vinculada a la propiedad Borel-Lebesgue , a veces se denomina "propiedad Bolzano-Weierstrass". Se pueden encontrar varias pruebas en el artículo Teorema de Bolzano-Weierstrass .
Ejemplos :
- si x n = (–1) n , entonces la subsecuencia ( x 2 n ) de términos de rango par converge a 1 y la subsecuencia ( x 2 n +1 ) de términos de rango impar converge a –1;
- es posible que no se pueda explicar tal subsecuencia. Por ejemplo, existen enteros estrictamente crecientes n 1 , n 2 , ..., n k , ... tales que sin ( n k ) converge, pero no tenemos una expresión .
- la situación más simple es aquella donde la secuencia acotada es más monótona: en este caso, ya es convergente , según el teorema del límite monótono