Sección para principiantes
En matemáticas , y más precisamente en teoría de órdenes , una sección inicial (también llamada segmento inicial o subconjunto inferiormente cerrado ) de un conjunto ordenado ( X , ≤) es un subconjunto S de X tal que si x está en S y si y ≤ x , a continuación, y se encuentra en S .
Dually , llamado sección graduado (o subconjunto cerrado superiormente ) un subconjunto F tal que si x está en F y si x ≤ y , a continuación, y está en F .
Ejemplos de
En el caso de un conjunto totalmente ordenado , las secciones iniciales son intervalos ; en particular, en el caso del conjunto R de números reales , las secciones iniciales no vacías y no idénticas a R son los intervalos de una de las dos formas ] –∞, a ] y ] –∞, a [ .
Por relación de inclusión , todos los subconjuntos de un conjunto dado X es un conjunto superior de todas las partes de Y para todos los Y como X ⊂ Y .
Por definición, para la relación de inclusión, el conjunto de vecindades de un punto en un espacio topológico es una sección final del conjunto de partes de este espacio.
Propiedades
En la siguiente lista de propiedades, podemos reemplazar en todas partes la sección inicial con la sección final (intercambiando el máximo y el mínimo según sea necesario, etc.)
- Cada conjunto ordenado es una sección inicial de sí mismo.
- La intersección y unión de una familia de tramos iniciales son tramos iniciales.
- El complemento de una sección inicial es una sección final.
- Dado un conjunto ordenado ( X , ≤), la familia de secciones iniciales de X , ordenadas por inclusión , es un retículo completo , el retículo que comienza O ( X ).
- Dado un subconjunto arbitrario Y de un conjunto ordenado X , la intersección de las secciones que se gradúan que contienen Y es el más pequeño de esas secciones se gradúan, denota ↑ Y .
- Del mismo modo, el conjunto superior más pequeño que contiene Y se denota ↓ Y .
- Se dice que una sección final de X es principal si tiene la forma ↑ { x }, donde x es un elemento de X ; dos aplicaciones importantes de esta terminología corresponden al caso de los ideales y al de los ultrafiltros .
- El conjunto de elementos mínimos de una sección final forma un antichaine .
- Por el contrario, cualquier antichain A determina una sección final: { x | existe una y de A tal que x ≥ y }. Para pedidos parciales que satisfacen una condición de cadena descendente , esta correspondencia entre antichains y secciones finales es una biyección (pero este no es el caso en general para ningún pedido parcial).
El caso de los ordinales
Un ordinal puede identificarse con el conjunto de ordinales que son estrictamente inferiores a él. Luego, cada ordinal se identifica con una sección inicial de la clase de todos los ordinales, ordenados por inclusión.
Ver también
Referencias
-
N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas - Teoría de conjuntos , cap. III, § 1, n ° 2, pág. 3, para las definiciones y las primeras propiedades de los órdenes parciales.
-
(en) J. Blanck, “ Representaciones de dominio de espacios topológicos ”, en Theoretical Computer Science , vol. 247, 2000, pág. 229-255
- (en) KH Hoffman, " Los axiomas de baja separación (T 0 ) y (T 1 ) " ,2001
- (en) BA Davey y HA Priestley, Introduction to Lattices and Order , Cambridge University Press ,2002, 2 nd ed. , 298 p. ( ISBN 0-521-78451-4 , leer en línea )