Primer cuádruple

En teoría de números , un cuatrillizo primo es una secuencia de cuatro números primos consecutivos de la forma ( p , p +2, p +6, p +8). Ésta es la única forma posible para cuatro números primos consecutivos de diferencias mínimas entre ellos, además de los cuatrillizos (2,3,5,7) y (3,5,7,11). Por ejemplo (5, 7, 11, 13) y (11, 13, 17, 19) son cuatrillizos primos.

Cuádruple de números primos separados por desviaciones mínimas constantes

Un cuatrillo de primos impares consecutivos tiene una diferencia entre el menor y el mayor de estos números de al menos 6, IL no puede ser 6 porque el único triplete de primos consecutivos de la forma ( p , p +2, p +4) es ( 3, 5, 7) (ver triplete principal ). Esta diferencia es, por tanto, al menos 8. Si es 8, se escribe ( p , p +2, p +4, p +8), y siempre por la misma razón es necesariamente (3, 5, 7, 11 ), o está escrito ( p , p +2, p +6, p +8).

De hecho, no se puede escribir ( p , p +4, p +6, p +8), porque tendríamos ( p +4, p +6, p +8) = (3, 5, 7).

La única forma posible para cuatrillizos de números primos consecutivos de mínima diferencia 8 entre el primero y el último, y para la cual no hay una razón obvia de que haya un número finito de cuatrillizos de esta forma es ( p , p +2, p + 6, p +8), y son estos cuatrillizos los que llamamos cuatrillizos primos. Un cuatrillizo primo es una constelación de cuatro números primos.

Los primos cuádruples se componen de dos pares de primos gemelos , ( p , p +2) y ( p +6, p +8).

Propiedades caracteristicas

El cuatrillizo primo más pequeño es (5, 7, 11, 13). Los siguientes cuatrillizos primos son todos de la forma (30 n +11, 30 n +13, 30 n +17, 30 n +19), donde n es un número natural. Estos cuatro números tienen por centro de simetría 30 n + 15, múltiplo impar de 15.

Lista de cuatrillizos principales

Los cuatrillizos principales hasta 100.000 son:

de 0 a 100, 2 apariciones: (5, 7, 11, 13); ( 11 , 13 , 17 , 19 );
de 101 a 250, 2 apariciones: ( 101 , 103 , 107 , 109 ); (191, 193, 197, 199);
de 251 a 500, 0 apariciones;
de 501 a 1000, 1 aparición: (821, 823, 827, 829);
de 1.001 a 2.000, 2 apariciones: (1.481, 1.483, 1.487, 1.489); (1.871, 1.873, 1.877, 1.879);
de 2001 a 5000, 3 ocurrencias: (2.081, 2.083, 2.087, 2.089); (3.251, 3.253, 3.257, 3.259); (3.461, 3.463, 3.467, 3.469);
de 5,001 a 10,000, 2 apariciones: (5,651, 5,653, 5,657, 5,659); (9.431, 9.433, 9.437, 9.439);
de 10.001 a 25.000, 9 apariciones: (13 001, 13 003, 13 007, 13 009); (15641, 15643, 15647, 15649); (15,731, 15,733, 15,737, 15,739); (16.061, 16.063, 16.067, 16.069); (18.041, 18.043, 18.047, 18.049); (18 911, 18 913, 18 917, 18 919); (19,421, 19,423, 19,427, 19,429); (21011, 21013, 21017, 21019); (22271, 22273, 22277, 22279);
de 25.001 a 50.000, 4 apariciones: (25 301, 25 303, 25 307, 25 309); (31,721, 31,723, 31,727, 31,729); (34,841, 34,843, 34,847, 34,849); (43.781, 43.783, 43.787, 43.789);
de 50.001 a 75.000, 6 apariciones: (51 341, 51 343, 51 347, 51 349); (55,331, 55,333, 55,337, 55,339); (62,981, 62,983, 62,987, 62,989); (67,211, 67,213, 67,217, 67,219); (69,491, 69,493, 69,497, 69,499); (72 221, 72 223, 72 227, 72 229);
de 75.001 a 100.000, 7 apariciones: (77.261, 77.263, 77.267, 77.269); (79,691, 79,693, 79,697, 79,699); (81041, 81043, 81047, 81049); (82 721, 82 723, 82 727, 82 729); (88 811, 88 813, 88 817, 88 819); (97 841, 97 843, 97 487, 97 489); (99131, 99133, 99137, 99139).

Constante marrón

Una constante de Brun , denotado B 4 para estos cuatrillizos de números primos , es la suma de las inversas de todos los números primos de estos cuatrillizos:

{\ Displaystyle B_ {4} = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {19}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {101}} + {\ frac {1} {103}} + {\ frac {1} {107}} + {\ frac {1} {109}} \ derecha) + \ cdots}

El valor aproximado de esta constante es:

B 4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Enumeración de cuatrillizos primos

No se sabe si hay un número infinito de esos cuatrillizos de números primos .

Probar la conjetura de los primos gemelos no es suficiente para demostrar que también hay una infinidad de cuatrillizos de números primos .

Determinación de cuatrillizos primos

Usando Mathematica , uno puede encontrar los múltiplos de 15 que centran estos cuatrillizos de números primos , ejecutando los siguientes comandos (uno puede sustituir otro entero por 10,000 en la función Range [] si lo desea):

Select[Range[10000], PrimeQ[# * 15 - 4] && PrimeQ[# * 15 - 2] && PrimeQ[# * 15 + 2] && PrimeQ[# * 15 + 4] &] % * 15

Los mejores récords para los mejores cuatrillizos

Uno de los cuatrillizos primos más grandes conocidos se centra en: 10 699 + 547 634 621 255 .

En abril de 2012 , el cuatrillizo principal conocido más grande tiene 3.024 dígitos (base 10). Fue encontrado por Peter Kaiser y comienza con: p = 43 697 976 428 649 × 2 9999 - 1.

Distancia mínima entre dos cuatrillizos

La distancia más pequeña posible entre dos cuatrillizos primos ( p , p +2, p +6, p +8) y ( P , P +2, P +6, P +8) es P - p = 30 (lo verificamos para ejemplo estudiando las unidades del anillo Z / 30Z ). Las primeras tres apariciones de tales pares de cuatrillizos están en p = 1,006,301, p = 2,594,951 yp = 3,919,211.

Curiosidad arqueológica

Se cree que los números primos 11, 13, 17 y 19 que forman el cuatrillizo de números primos (11, 13, 17, 19) aparecen en un hueso de Ishango , según el geólogo Jean de Heinzelin y el periodista científico Alexander Marshack; Sin embargo, esta tesis es refutada por el historiador de las matemáticas Olivier Keller.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Prime quadruplet " ( ver la lista de autores ) .

(en) Tony Forbes. anthony.d.forbes.googlepages.com Premium k-tuplets . Consultado el 5 de abril de 2012.
Olivier Keller, " Prehistoria de la geometría: el problema de las fuentes " , sobre IREM de Reunión . Ver también “Las fábulas de Ishango, o la irresistible tentación de la ficción matemática” , agosto de 2010, análisis de O. Keller sobre Bibnum .

Ver también

enlaces externos

Suite A007530 de OEIS , encabeza la lista de los primeros términos de los primeros cuatrillizos ( p tal que ( p , p 2, p 6, p 8) es un primer cuatrillizo);
Suite OEIS A136162 , inicio de la lista de cuatrillizos principales;
OEIS suite A014561 , lista de números naturales n , tal que (30 n + 11, 30 n +13, 30 n +17, 30 n +19) es un cuatrillizo primo.