Cuadrilátero completo

Un cuadrilátero completo es una figura de geometría plana formada por cuatro líneas rectas , dos de las cuales no son paralelas ni tres concurrentes.

Otra forma de definir un cuadrilátero completo es completar un cuadrilátero convexo ABCD por la intersección del punto E de las líneas ( AB ) y ( CD ) y la intersección del punto F de las líneas ( AD ) y ( BC ).

Las intersecciones de estas cuatro líneas dan seis vértices. La intersección de dos líneas y la intersección de las otras dos líneas son vértices opuestos. El segmento que une dos vértices opuestos es una diagonal. Hay tres diagonales en un cuadrilátero completo.

Esta cifra está relacionada con la geometría proyectiva y se estudió desde la II ª siglo por Menelao y Pappus de Alejandría .

Propiedades

Una división armónica en las diagonales.

Cada diagonal se cruza con las otras dos creando divisiones armónicas . Más explícitamente, la diagonal ( BD ) es cortada por las diagonales ( AC ) y ( EF ) en I y J de manera que

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {IB}} {\ overline {ID}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {JB}} {\ overline {JD}}} = - 1. }

De manera similar, si K es la intersección de las diagonales ( AC ) y ( EF ):

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {JE}} {\ overline {JF}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {KE}} {\ overline {KF}}} = - 1, \ quad {\ frac {\ overline {KA}} {\ overline {KC}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {IA}} {\ overline {IC}}} = - 1.}$

Es un avatar proyectivo de la propiedad de las diagonales del paralelogramo (caso donde una de las diagonales del cuadrilátero completo es la línea en el infinito en el plano proyectivo visto como un plano afín completo), es decir, que se cruzan en su punto medio ( caso límite de división armónica ).

Damos una primera demostración geométrica, que utiliza las propiedades de los haces armónicos : la propiedad característica que es que cualquier secante a un haz armónico se corta según una división armónica , y la existencia y unicidad de un cuarto armónico.

Demostración geométrica

Dadas tres líneas rectas provenientes de un punto, solo hay una línea recta que forma con ellas un haz armónico .

Tenga en cuenta el conjunto de líneas (los puntos no están necesariamente alineados). ${\ Displaystyle [O | A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}]}$ ${\ Displaystyle (OA_ {1}), (OA_ {2}), (OA_ {3}), (OA_ {4})}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}}$

Sea el punto de intersección de las diagonales y . O el único punto en la línea tal que el haz es armónico. Pongamos y . $I$ $(C.A)$ ${\ Displaystyle (BD)}$ $METRO$ ${\ Displaystyle (EI)}$ ${\ Displaystyle [F | E, M, B, D]}$ ${\ Displaystyle H = (FM) \ cap (BC)}$ ${\ Displaystyle H '= (FM) \ cap (AD)}$

Tenemos , para que la viga sea armónica (recordemos que el hecho de ser armónica depende únicamente de la posición de los puntos de intersección con una secante; aquí la secante es la recta ). ${\ Displaystyle [F | E, M, B, D] = [F | E, H, B, C]}$ ${\ Displaystyle [I | E, H, B, C]}$ ${\ Displaystyle (EC)}$

Por una razón similar, ocurre lo mismo con . ${\ Displaystyle [I | E, H ', A, D]}$

Pero así y eso , tenemos . Sin embargo, al ser armónico, es lo mismo de modo que los dos haces y ambos son armónicos y tienen tres líneas rectas comunes. En virtud de la propiedad de unicidad, estos dos haces son idénticos y, por tanto . ${\ Displaystyle (IA) = (IC)}$ ${\ Displaystyle (IB) = (ID)}$ ${\ Displaystyle [I | E, H ', A, D] = [I | E, H', C, B]}$ ${\ Displaystyle [I | E, H ', C, B]}$ ${\ Displaystyle [I | E, H ', B, C]}$ ${\ Displaystyle [I | E, H, B, C]}$ ${\ Displaystyle [I | E, H ', B, C]}$ ${\ Displaystyle (IH) = (IH ')}$

Entonces, por definición de . ${\ Displaystyle I = (HH ') \ cap (EI) = M}$ $METRO$

Por tanto, el haz es armónico lo que significa que se divide armónicamente . ${\ Displaystyle [F | J, I, B, D]}$ ${\ Displaystyle [I, J]}$ ${\ Displaystyle [B, D]}$

Demostración analítica

Sea , dos líneas resultantes de . un punto en el eje de ; y dos líneas resultantes de . Denotamos los cuatro puntos de intersección. $Y = \ lambda X$ ${\ Displaystyle Y = \ mu X}$ $O$ ${\ Displaystyle A = (a, 0)}$ $X$ ${\ Displaystyle Y = \ alpha (Xa)}$ ${\ Displaystyle Y = \ beta (Xa)}$ $A$ ${\ Displaystyle M_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}$

Podemos calcular fácilmente a dónde llegamos por permutación: ${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {a \ alpha} {\ alpha - \ lambda}}}$

{\ Displaystyle \ quad x_ {2} = {\ frac {a \ beta} {\ beta - \ lambda}}, \ quad x_ {3} = {\ frac {a \ beta} {\ beta - \ mu}} , \ quad x_ {4} = {\ frac {a \ alpha} {\ alpha - \ mu}}.}

La recta tiene por ecuación: ${\ Displaystyle (M_ {1} M_ {3})}$

{\ Displaystyle \ quad {\ begin {vmatrix} X & x_ {1} & x_ {3} \\ Y & \ lambda x_ {1} & \ mu x_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix }} = {\ begin {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} X & a \ alpha & a \ beta \\ Y & a \ lambda \ alpha & a \ mu \ beta \\ 1 & \ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}} = 0.}

Tomamos la abscisa del punto de intersección con el eje : $\omega$ $Buey$

{\ Displaystyle \ quad \ omega = {\ frac {a ^ {2} \ alpha \ beta (\ lambda - \ mu)} {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ alpha & a \ mu \ beta \\\ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}}}.}

Por permutación deducimos que de : ${\ Displaystyle \ omega '}$ ${\ Displaystyle (M_ {2} M_ {4}) \ cap (Buey)}$

{\ Displaystyle \ quad \ omega '= {\ frac {a ^ {2} \ alpha \ beta (\ lambda - \ mu)} {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ beta & a \ mu \ alpha \\\ beta - \ lambda & \ alpha - \ mu \ end {vmatrix}}}.}

Resulta

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ omega}} + {\ frac {1} {\ omega '}} = {\ frac {1} {a ^ {2} \ alpha \ beta (\ lambda - \ mu )}} \ left ({\ begin {vmatrix} a \ lambda \ alpha & a \ mu \ beta \\\ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ beta & a \ mu \ alpha \\\ beta - \ lambda & \ alpha - \ mu \ end {vmatrix}} \ right) = {\ frac {2} {a}}}

después del desarrollo de determinantes.

Nota: podríamos haber tomado pero la media armónica habría sido menos visible. $a = 1$

Prueba en geometría proyectiva

Esta demostración utiliza las propiedades de los mapas proyectivos del plano: están determinados por la imagen de los 4 puntos de un sistema de coordenadas proyectivo , conservan la alineación y la relación cruzada .

(A, C, F, E) es un sistema de coordenadas proyectivo. Consideramos el mapa proyectivo que deja A y C invariantes y que envía E [resp. F] a E ∞ [resp. F ∞ ] punto en el infinito de la línea (AE) [resp. (AF)].

La imagen B 'de B está en la intersección de la línea (AF ∞ ) y la línea (CE ∞ ) paralela a (AE);
La imagen D 'de D está en la intersección de la línea (AE ∞ ) y la línea (CF ∞ ) paralela a (AF)

El cuadrilátero AB'CD 'es, por tanto, un paralelogramo

La imagen de I es el punto I 'intersección de las diagonales (AC) y (B'D')
la imagen de J es el punto J ∞ intersección de las líneas (B'D ') y (E ∞ F ∞ )

La relación cruzada [B'C'I'J ∞ ] es igual a -1, por lo que la relación cruzada [BCIJ] también es igual a -1.

Los razonamientos análogos prueban las otras divisiones armónicas

Esta propiedad también se puede deducir del teorema de Menelao y del teorema de Ceva , o permitir que uno de estos teoremas se demuestre a partir del otro.

Línea de Newton

Los puntos medios de las tres diagonales están alineados en una línea llamada línea de Newton .

Teorema de Miquel

Los círculos circunscritos a los triángulos ( EAD ), ( EBC ), ( FAB ) y ( FDC ) son concurrentes.

Uso notable

El dual del cuadrilátero completo es el cuadrilátero completo .

El cuadrilátero completo inscrito en una cónica es muy útil para demostrar algunas propiedades de tangentes y polares en una cónica .

Ver también

Bibliografía

Jean-Denis Eiden, geometría analítica clásica , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Pequeña enciclopedia de matemáticas , ed. Didier
Jean Fresnel, métodos modernos en geometría
Bruno Ingrao, Cónicas afines, euclidianas y proyectivas , Calvage & Mounet ( ISBN 978-2-916352-12-1 )

enlaces externos

" Cuadrilátero completo " , en serge.mehl.free.fr
" Cuadrilátero completo " , en debart.pagesperso-orange.fr