Un cuadrado cuya longitud de lado es un número natural se llama cuadrado entero . El problema de cuadrar el cuadrado es pavimentar un cuadrado entero con cuadrados enteros.
Cuadrar el cuadrado es una tarea trivial sin condiciones adicionales establecidas. La restricción más estudiada es la cuadratura “perfecta” del cuadrado, donde todos los cuadrados contenidos son de diferentes tamaños (ver más abajo).
Otras condiciones pueden conducir a resultados interesantes. Uno de estos es cuadrar el cuadrado sin unión de borde (es decir, no se permite la unión completa de bordes del mismo tamaño) y cuadrar el cuadrado sin contacto (es decir, prohibir que dos piezas del mismo tamaño se toquen entre sí) (ver pavimento ).
Una cuadratura “perfecta” del cuadrado es tal que un cuadrado está formado por cuadrados más pequeños, cada uno de un tamaño diferente. El nombre fue asignado por una divertida analogía con la cuadratura del círculo .
Se registró por primera vez que fue estudiada por RL Brooks , CAB Smith (de) , AH Stone y WT Tutte , bajo el seudónimo colectivo Blanche Descartes , en la Universidad de Cambridge .
Para hacer esto, transformaron el mosaico del cuadrado en un circuito eléctrico equivalente, creando un diagrama de Smith del cuadrado y considerando los bordes del diagrama como resistencias . Luego aplicaron las leyes de Kirchhoff sobre circuitos eléctricos y técnicas de descomposición de circuitos a este circuito.
El primer cuadrado perfecto de cuadratura fue encontrado por Roland Sprague (en) en 1939 .
Si tomamos una parte del mosaico y lo ensanchamos hasta que el cuadrado más pequeño tenga ahora el tamaño del cuadrado S desde el que partimos, obtenemos de esto un mosaico del plano con cuadrados enteros, cada uno con un tamaño diferente.
Todavía es un problema sin resolver si el plano se puede pavimentar con un conjunto de cuadrados enteros de modo que cada uno de ellos tenga un tamaño diferente usando un número natural y se use solo una vez.
Martin Gardner publicó un largo artículo de Tutte sobre la historia de la cuadratura del cuadrado.
Una cuadratura "simple" del cuadrado es aquella en la que ningún subconjunto de cuadrados forma un rectángulo. La cuadratura perfecta simple más pequeña del cuadrado fue descubierta por AJW Duijvestin usando una búsqueda por computadora . Su mosaico utiliza 21 cuadrados y se ha demostrado que es mínimo y único.
Cuando la restricción de que todos los lados del cuadrado tienen diferentes longitudes se reemplaza por estas longitudes son relativamente primos , el problema de elevar al cuadrado el cuadrado resultante se denomina a menudo el problema de la " colcha para la Sra . Perkins".