Pirámide de 11

La Pirámide del 11 es una variante del triángulo de Pascal . Permite calcular exactamente las potencias de 11 o . La diferencia con el triángulo de Pascal es que tenemos la apariencia de un arrastre en cuanto a la suma . ${\ Displaystyle A \ times 11 ^ {n}}$

Reglas

La pirámide de 11 permite calcular por sumas sucesivas, sin multiplicación, el producto de un número natural por una potencia de 11. Se obtiene sumando sucesivamente por pares de derecha a izquierda, saltando un dígito, los dígitos sucesivos que componga el número natural entero (que queremos multiplicar por una potencia de 11): la primera línea es la del número en cuestión, la siguiente línea el número obtenido por este cálculo en pares, y así sucesivamente para las siguientes líneas. La primera línea corresponde de hecho al número que multiplica 11 a la potencia de 0, la segunda al número que multiplica 11 a la potencia de 1, y así sucesivamente, la línea (n + 1) es el resultado de multiplicar el número inicial. 11 elevado a la potencia n. Tomemos por ejemplo el número 2156478 como multiplicador con una potencia de 11, y calculemos el número que aparecerá en la siguiente línea, que será el resultado del producto de este número por 11. Para aplicar la regla, tomamos como el número inicial "02156478,0", agregando un cero "virtual" a cada lado del número. Las adiciones en pares sucesivos de izquierda a derecha serán las siguientes: "8 + 0" (porque el número 2156478 = 2156478,0), "7 + 8", "4 + 7", "6 + 4", "6 + 5 "," 5 + 1 "," 2 + 1 "y" 0 + 2 "(para finalizar el número obtenido porque 2156478 = 02156478). Si el resultado de estas adiciones es mayor o igual a 10, entonces tomamos el último dígito que compone el resultado y retenemos 1 que se agregará al siguiente par de la izquierda. Los posibles resultados de todas estas adiciones pertenecen a este intervalo:

{\ Displaystyle S = [0.19]}

De hecho, es posible un resultado cero si el número tiene varios ceros consecutivos, por ejemplo, 2006.

Tomando el ejemplo del principio, el resultado de 2156478 por la multiplicación de 11 (en realidad 11 exponente 1) es:

2156478 23721258

En su lugar, detallemos el cálculo:

8 + 0 = 8, ponemos el 8 primero
8 + 7 = 15, ponemos el 5 antes del 8 y retenemos 1 para la siguiente suma
7 + 4 + 1 = 12, ponemos el 2 antes del 5 y retenemos 1 para la siguiente suma
6 + 4 + 1 = 11, ponemos el 1 antes del 2 y retenemos 1 para la siguiente suma
6 + 5 + 1 = 12, ponemos el 2 antes del 1 y retenemos 1 para la siguiente suma
5 + 1 + 1 = 7, ponemos el 7 antes del 2
2 + 1 = 3, ponemos el 3 antes del 7
2 + 0 = 2, ponemos el 2 antes del 3.

Esta es la última operación porque hemos llegado al primer dígito que forma el número a calcular. Realizamos la misma operación sobre esta cifra obtenida para calcular 23721258 . ${\ Displaystyle 2156478 \ times 11 ^ {2}}$

La potencia "n" ( ) viene determinada por el número de líneas realizadas después de la primera línea que corresponde al número de multiplicación de la potencia n de 11. Para obtener, por ejemplo , tomamos el número 31 y calculamos lo siguiente 10 líneas aplicando la regla a cada fila. Sea A el número de la primera línea, n un entero, p el segundo dígito (comenzando por la derecha) de la primera línea escrita yq el segundo dígito (comenzando por la derecha) de la última fila. ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle 31 \ times 11 ^ {10}}$

{\ Displaystyle A \ times 10 ^ {n}}

(donde )

{\ Displaystyle n = qp}

Esta fórmula no funciona cuando el número de filas supera las 10.

Demostración

Puedes probar con cualquier número, la técnica de la pirámide del 11 funciona todo el tiempo. Entonces, ¿cómo podemos demostrar que tal método puede funcionar?

Intentemos calcular esta operación: ${\ Displaystyle 118221 \ times 11 =?}$

Sea la multiplicación como sigue:

118221 x 11 ------- =118221 1182210 ------- 1300431

Tenga en cuenta que multiplicar un número por 11 es sumar la suma entre dos de estas cifras vecinas. Por lo tanto, es más fácil sin pedir a la multiplicación que vaya directamente al método de la pirámide de 11

118221 1300431

Ejemplos de

Con 1 como número inicial

1 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 172135352171

Aquí : ${\ displaystyle 11 ^ {7} = 19487171}$

Tomando el ejemplo citado en la regla de cálculo utilizada en la pirámide, calculemos ${\ Displaystyle 31 \ times 11 ^ {9}}$

31 341 3751 41261 453871 4992581 54918391 604102301 6645125311 73096378421

Entonces : ${\ displaystyle 31 \ times 11 ^ {9} = 73096378421}$

Recíproco

La recíproca de la Pirámide de los 11 es más interesante pero es mucho más difícil de aplicar.

Ejemplos de

Caso de un número divisible por 11

Demuestra que 1816474 es múltiplo de 11

Planeamos pedir 1816474 y buscamos las posibles restas a este número.

1.816.474,0

La primera resta (de la derecha) es obvia porque es 4-0 = 4.

18164 7 4 xxxxx 4
(x representa un número)

Para 7, el segundo dígito del número anterior tenía que ser un 3 de antemano porque 7-4 = 3 No podemos tener 14 porque este número está compuesto por 2 dígitos

1816474 xxxx34

Luego, por deducción, el tercer dígito del número anterior es 1 porque 4-3 = 1

1816474 xxx134

Asi enseguida :

6-1 = 5
11-5 = 6 (no podemos hacer 1-5 porque de lo contrario el resultado pertenecería a ) $\ mathbb {Z}$
8-6-1 = 2-1 = 1

Entonces obtenemos

1816474 165134

Podemos concluir que : ${\ displaystyle 1816474 = 165134 \ times 11}$

Caso de un número no divisible por 11

Demuestra que 18225 no es divisible por 11

Para mostrar que 18225 no es divisible por 11, debemos demostrar que la inversa de la pirámide de 11 no funciona. Es decir, sumar el resultado del recíproco no funciona para dar el último dígito.

18225 xxx5

Primero, para tener el primer dígito del resultado recíproco, simplemente tienes que hacer 5-0 = 5. Luego, el segundo número se obtiene al hacer 12-5 (y no 2-5 porque el resultado es un número negativo). Obtenemos 7 y retenemos 1.

18225 xx75

Las siguientes restas son:

${\ displaystyle 12-1-7 = 4}$
${\ Displaystyle 8-1-4 = 3}$

El resultado del recíproco sería 3475 pero por tanto el recíproco no funciona y por tanto podemos deducir que 18225 no es divisible por 11. ${\ Displaystyle 3 + 0 \ neq 1}$

Organización por mesa

Este es otro método para encontrar los dígitos que forman el resultado del recíproco. Por ejemplo, tomemos el número 37250615421. Queremos saber si es divisible por 11. Llamamos a los dígitos que componen el primer número y el resultado del recíproco. $R_ {n}$ $T_ {n}$

37250615421 xxxxxxxxxx

Organizamos el resultado del recíproco mediante una tabla que agrupa las operaciones a realizar:

	$R$	$T_1$	retirado	$T_2$
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5	3	0	2
5	11	2	0	9
6	dieciséis	9	1	6
7	10	6	1	3
8	5	3	1	1
9	2	1	0	1
10	7	1	0	6
11	6	0	0	6

Como , el número no es divisible por 11 ${\ Displaystyle 6 + 0 \ neq 3}$

Explicación de cómo funciona la tabla y retenciones.

Primero, contamos el número de dígitos en el número donde buscamos la divisibilidad por 11. Habrá tantas filas en la tabla como dígitos. En la fila de encabezado, hay cuatro columnas: R (el dígito del número en la primera fila) , el primer dígito de la derecha; retirado donde colocamos las retenciones y , el segundo dígito de la línea calculada. $T_1$ $T_2$

Para encontrar , debes hacer la resta . En la primera línea, siempre es igual a 0. También podemos notar que la primera línea siempre es igual a . Al numerar las líneas, es más fácil orientarse. R está determinado por el enésimo dígito que queremos calcular. $T_2$ ${\ Displaystyle R-T_ {2}}$ $T_1$ $T_2$ $T_1$

Si R es menor que , se debe sumar 10 a R, pero en la línea siguiente, se debe restar un 1 del resultado final. $T_1$

Generalización

Deje que se escriban dos números:

{\ Displaystyle N_ {1} = {\ overline {q_ {n} r_ {n-1} r_ {n-2} \ ldots r_ {1} r_ {0}}} ^ {10}}

{\ Displaystyle N_ {1} = q_ {n} \ times 10 ^ {n} + r_ {n-1} \ times 10 ^ {n-1} + r_ {n-2} \ times 10 ^ {n-2 } \ ldots r_ {1} \ times 10 + r_ {0}}

{\ Displaystyle N_ {2} = {\ overline {s_ {n-1} t_ {n-2} t_ {n-3} \ ldots t_ {1} t_ {0}}} ^ {10}}

{\ Displaystyle N_ {2} = s_ {n} \ times 10 ^ {n} + t_ {n-1} \ times 10 ^ {n-1} + t_ {n-2} \ times 10 ^ {n-2 } \ ldots t_ {1} \ times 10 + t_ {0}}

Queremos mostrar la divisibilidad por 11 de este número aplicando el inverso de la pirámide de 11. Para eso, debemos demostrar que existe un segundo número ( ) tal que: $N_ {2}$

${\ Displaystyle t_ {0} = r_ {0} -0}$
${\ Displaystyle t_ {1} = r_ {1} -t_ {0}}$
${\ Displaystyle t_ {2} = r_ {2} -t_ {1}}$

o más en general . ${\ Displaystyle r_ {n} = r_ {n-1} -t_ {n-1}}$

Tenemos la siguiente construcción:

{\ Displaystyle {\ overline {q_ {n} r_ {n-1} r_ {n-2} \ ldots r_ {1} r_ {0}}}}

{\ Displaystyle {\ overline {xxx \ ldots t_ {2} t_ {1} t_ {0}}}}

Entonces , podemos agregar 10 a . Pero para hacer eso, debes tener esta resta ${\ Displaystyle r_ {n} \ neq r_ {n-1} -t_ {n-1}}$ ${\ Displaystyle r_ {n-1}}$ ${\ Displaystyle r_ {n + 1} = r_ {n} -1-t_ {n}}$

Generalización

La pirámide de 11 funciona en base 10. Podemos hacer lo mismo en base n, para el número n + 1. Sin embargo, no olvide convertir los números a base 10 y respetar el máximo del número de líneas que es n.

Ejemplos de

Para 5 ^ n en base 4:

5 ^ n	pirámide de 11	pirámide de 5
${\ Displaystyle 5 ^ {0}}$	1	1
${\ Displaystyle 5 ^ {1}}$	11	5
${\ Displaystyle 5 ^ {2}}$	121	25
${\ Displaystyle 5 ^ {3}}$	1331	125