Producto escalar canónico
Un producto escalar canónico es un producto escalar que se produce de forma natural a partir de la forma en que se presenta el espacio vectorial . También hablamos de un producto escalar natural o habitual .
Dentro Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Llamamos al producto escalar canónico de la aplicación que, con los vectores y de , asocia la cantidad:
Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}X=(X1,X2,...,Xno){\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}y=(y1,y2,...,yno){\ Displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n})}Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
(X∣y)=∑I=1noXIyI{\ Displaystyle (x \ mid y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}}.
Dentro VSno{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
En , consideramos el producto escalar hermitiano canónico dado por la fórmula:
VSno{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
(X∣y)=∑I=1noXI¯yI{\ Displaystyle (x \ mid y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {x_ {i}}} y_ {i}}.
En espacios funcionales
En algunos espacios funcionales (funciones continuas en un segmento o funciones cuadradas sumables , por ejemplo), el producto escalar canónico viene dado por la fórmula:
(F∣gramo)=∫F¯gramo{\ Displaystyle (f \ mid g) = \ int {\ bar {f}} g}.
Dentro METROno(R){\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}
En el espacio de matrices cuadradas de dimensión con coeficientes reales, el producto escalar habitual es:no{\ Displaystyle n}
(METRO∣NO)=Tr(tMETRONO){\ Displaystyle (M \ mid N) = \ textstyle {Tr} ({} ^ {t} MN)}
donde denota el rastro.
Tr{\ Displaystyle Tr}
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