Principio de maximalidad de Hausdorff

En matemáticas , el principio de maximalidad de Hausdorff es una formulación diferente del lema de Zorn que precede a éste y que Felix Hausdorff demostró en 1914 (Moore 1982: 168). Indica que en cada conjunto parcialmente ordenado , cada subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado.

El principio de maximalidad de Hausdorff es uno de los muchos enunciados equivalentes al axioma de elección sobre ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección). Este principio también se denomina teorema de maximalidad de Hausdorff o lema de Kuratowski (Kelley 1955: 33).

Estados

El principio de maximalidad de Hausdorff establece que, en un conjunto parcialmente ordenado, cada subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado. Aquí, un subconjunto máximo totalmente ordenado es un subconjunto que, si le agregamos algún elemento, no permanece totalmente ordenado. El conjunto máximo designado por el principio no es único en general: puede haber muchos subconjuntos máximos completamente ordenados que contengan un subconjunto totalmente ordenado.

Una forma equivalente de este principio es que en cualquier conjunto parcialmente ordenado hay un subconjunto máximo completamente ordenado.

Para mostrar que esto se sigue de la forma original, establecemos A como un conjunto parcialmente ordenado. Entonces es un subconjunto totalmente ordenado de A , por lo que existe un subconjunto contenedor totalmente ordenado máximo . En particular, A contiene un subconjunto máximo totalmente ordenado. $\ varnothing$ $\ varnothing$

Para la prueba en la dirección opuesta, nos propusimos A un conjunto parcialmente ordenado y T un totalmente ordenado subconjunto de A. Entonces

{\ Displaystyle \ {S \ mid T \ subseteq S \ subseteq A {\ mbox {y S totalmente ordenados}} \}}

se ordena parcialmente por la inclusión de manera que contenga un máximo subconjunto totalmente ordenado, denotado P . El montaje satisface las propiedades deseadas. $\ subseteq$ ${\ Displaystyle M = \ bigcup P}$

La prueba de que el principio de maximalidad de Hausdorff es equivalente al lema de Zorn es muy similar a esto.

Ejemplos de

Ejemplo 1. Si A es una colección de conjuntos, la relación "es un subconjunto de" es una orden parcial estricto en A . Suponga que A es la colección de todas las regiones circulares (el interior de los círculos) en el plano. Una subcolección máxima completamente ordenada de A es el conjunto de regiones circulares con sus centros en el origen. Otra subcolección máxima completamente ordenada es el conjunto de regiones circulares delimitadas por círculos tangentes al eje y en el origen.

EJEMPLO 2. Si (x 0 , y 0 ) y (x 1 , y 1 ) son dos puntos del plano ℝ 2 , decimos (x 0 , y 0 ) <(x 1 , y 1 )

si y 0 = y 1 y x 0 <x 1 . Es un orden parcial de ℝ 2 , en el que dos puntos son comparables si y solo si se encuentran en la misma línea horizontal. Los conjuntos máximos totalmente ordenados son las líneas horizontales en ℝ 2 .

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Principio máximo de Hausdorff ” ( ver la lista de autores ) .
(en) John Kelley , Topología general , Van Nostrand, 1955 [ leer en línea ]
(en) Gregory Moore, Zermelo's Axiom of Choice , Springer, 1982, visto en Google Books
(es) James Munkres , Topología , Prentice Hall ,2000, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1975), 537 p. ( ISBN 978-0-13-181629-9 , leer en línea )

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