Potencial newtoniano
La noción de potencial es una noción esencialmente matemática. Se introduce no solo en la mecánica sino también en muchos otros campos de la ciencia como la física, la electricidad o la termodinámica.
Llamamos potencial newtoniano a cualquier potencial escalar "en ".
1r{\ displaystyle {\ tfrac {1} {r}}}
Expresión analítica del trabajo elemental de una fuerza.
En este artículo, hemos proporcionado al plano o espacio un sistema de coordenadas ortonormal en el que se expresan todas las coordenadas. Cada punto y tiene coordenadas del tipo (x, y, z).
Sea F una fuerza aplicada en el punto P (x, y, z). Proyectemos la fuerza :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
F→=(XYZ){\ Displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}}}
.
Suponga que P se mueve en una longitud infinitesimal "dl" que se proyecta sobre los tres ejes en "dx", "dy" y "dz".
El trabajo elemental de es igual a:
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
DW=XDX+YDy+ZDz{\ Displaystyle \ mathrm {d} W = X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}
.
dW es el “ diferencial total” de una función de fuerza que nombraremos .
U(X,y,z){\ Displaystyle U (x, y, z)}
El trabajo total de P a P 'es:
W=∫pagpag′XDX+YDy+ZDz{\ Displaystyle W = \ int _ {p} ^ {p '} X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}
.
Campo de fuerza
Un campo de fuerza se define cuando conocemos en cada uno de sus puntos el valor y la dirección de la fuerza aplicada:
F→=(XYZ)=(F(X,y,z)gramo(X,y,z)h(X,y,z)){\ Displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} f (x, y, z) \\ g (x , y, z) \\ h (x, y, z) \ end {pmatrix}}}
.
En el caso de la gravedad, las líneas de fuerza son sustancialmente verticales:
X=0, Y=0 y Z=-metrogramo{\ Displaystyle X = 0, ~ Y = 0 {\ text {y}} Z = -mg}
.
Función de fuerza y función potencial
El campo de fuerza se deriva de la función de fuerza :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}U(X,y,z){\ Displaystyle U (x, y, z)}
XDX+YDy+ZDz=∂U∂XDX+∂U∂yDy+∂U∂zDz{\ Displaystyle X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z = {\ frac {\ parcial U} {\ parcial x}} \ mathrm {d} x + {\ frac {\ U parcial} {\ parcial y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ parcial U} {\ parcial z}} \ mathrm {d} z}
.
Por tanto, deducimos las proyecciones de la fuerza sobre los tres ejes :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
X=∂U∂X,Y=∂U∂y,Z=∂U∂z{\ Displaystyle X = {\ frac {\ U parcial} {\ parcial X}}, \ quad Y = {\ frac {\ U parcial} {\ parcial y}}, \ quad Z = {\ frac {\ U parcial } {\ z parcial}}}
.
Las fuerzas del campo de fuerza derivan de una función potencial , igual a la función , signo cambiado:
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}V(X,y,z){\ Displaystyle V (x, y, z)}
U(X,y,z){\ Displaystyle U (x, y, z)}
V(X,y,z)=-U(X,y,z){\ Displaystyle V (x, y, z) = - U (x, y, z)}
.
Deducimos la siguiente relación para las proyecciones de :
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
X=-∂V∂X,Y=-∂V∂y,Z=-∂V∂z{\ Displaystyle X = - {\ frac {\ V parcial} {\ parcial x}}, \ quad Y = - {\ frac {\ V parcial} {\ parcial y}}, \ quad Z = - {\ frac { \ parcial V} {\ parcial z}}}
.
Potencial gravitacional
Conocemos la ley de atracción universal establecida por Isaac Newton donde la fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia:
F=GRAMOmetrometro′r2{\ Displaystyle f = G {\ frac {mm '} {r ^ {2}}}}
.
Considere dos masas unitarias, una en el punto O (0,0,0) y la otra en el punto P (x, y, z). Sea la distancia entre los centros de gravedad de las dos masas:
r{\ Displaystyle r}
r=‖OPAG→‖=X2+y2+z2{\ Displaystyle r = \ | {\ overrightarrow {OP}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}
.
Las derivadas parciales de esta función son:
∂r∂X=12X2+y2+z2.2X=Xr{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial r} {\ parcial x}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} } .2x = {\ frac {x} {r}}}
y de la misma manera)
∂r∂y=yr,∂r∂z=zr{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial r} {\ parcial y}} = {\ frac {y} {r}}, \ quad {\ frac {\ parcial r} {\ parcial z}} = {\ frac { z} {r}}}
.
Los de son, por tanto:
U: =1r{\ Displaystyle U: = {\ frac {1} {r}}}
∂U∂X=DUDr∂r∂X=-1r2Xr=-Xr3{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial U} {\ parcial x}} = {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} r}} {\ frac {\ parcial r} {\ parcial x }} = - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {x} {r}} = - {\ frac {x} {r ^ {3}}}}
y (de manera similar):
∂U∂y=-yr3,∂U∂z=-zr3{\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ parcial y}} = - {\ frac {y} {r ^ {3}}}, \ quad {\ frac {\ U parcial} {\ parcial z}} = - {\ frac {z} {r ^ {3}}}}
.
Xr{\ Displaystyle {\ frac {x} {r}}}
, y son los cosenos de los ángulos que se forman con los tres ejes y es la fuerza de atracción (de signo menos porque se dirige hacia el origen “O”).
yr{\ Displaystyle {\ frac {y} {r}}}
zr{\ Displaystyle {\ frac {z} {r}}}
OPAG→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}
-1r2{\ Displaystyle - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
Calculamos las derivadas parciales de segundo orden escribiendo las primeras derivadas en forma de un producto " ". Obtenemos así:
∂U∂X=-X.r-3{\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ parcial x}} = - xr ^ {- 3}}
tuv{\ displaystyle uv}
∂2U∂X2=v∂tu∂X.tu∂v∂X=-1r3+3X2r5{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial x ^ {2}}} = v {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}}. u {\ frac {\ parcial v } {\ parcial x}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3x ^ {2}} {r ^ {5}}}}
y de la misma manera)
∂2U∂y2=-1r3+3y2r5,∂2U∂z2=-1r3+3z2r5{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial y ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3y ^ {2 }} {r ^ {5}}}, \ quad {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial z ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}} } + {\ frac {3z ^ {2}} {r ^ {5}}}}
.
Al sumar, finalmente obtenemos:
-3r3+3r5(X2+y2+z2)=-3r3+3r5r2=-3r3+3r3=0{\ Displaystyle - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }) = - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} r ^ {2} = - {\ frac {3} {r ^ { 3}}} + {\ frac {3} {r ^ {3}}} = 0}
y encontramos la relación encontrada por Laplace :
∂2U∂X2+∂2U∂y2+∂2U∂z2=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial y ^ {2}}} + { \ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial z ^ {2}}} = 0}
,
ecuación que notamos de manera compacta
ΔU=0{\ Displaystyle \ Delta U = 0}
.
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