Polinomio de Legendre asociado
En matemáticas , un polinomio de Legendre asociado , indicado es una solución particular de la ecuación general de Legendre:
PAGℓmetro(X){\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}![{\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9b97f26a184f3993b6af4811375ec8b60e757b)
(1-X2)y″-2Xy′+(ℓ(ℓ+1)-metro21-X2)y=0,{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ derecha) \, y = 0, \,}![{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ derecha) \, y = 0, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2450d950cace165dd4e2fd9302fb7b92260511e5)
que tiene una solución Regular sólo en el intervalo [-1,1] y si , con y m números enteros. Se reduce a la ecuación diferencial de Legendre si m = 0.
-ℓ≤metro≤+ℓ{\ Displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}
ℓ{\ Displaystyle \ ell}![{\ Displaystyle \ ell}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e)
Esta función es un polinomio si m es un número entero par . Sin embargo, el nombre "polinomio", aunque incorrecto, todavía se mantiene en el caso donde m es un número entero impar .
La ecuación general de Legendre se encuentra en particular en física , por ejemplo en la resolución de la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas . En particular, los polinomios de Legendre asociados juegan un papel importante en la definición de armónicos esféricos .
Definiciones y expresiones generales
Ecuación general de Legendre en física
La ecuación general de Legendre aparece de forma natural en la resolución de la ecuación tridimensional de Helmholtz en coordenadas esféricas (denotado , con , con constante, utilizando el método de separación de variables . Más precisamente, corresponde a la parte angular según la colatitud de este ecuación, y correspondiente a las constantes de separación.
Δ2F+k2F=0{\ Displaystyle \ Delta ^ {2} f + k ^ {2} f = 0}
(r,θ,ϕ){\ Displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
F=F(r→)=F(r,θ,ϕ){\ Displaystyle f = f ({\ vec {r}}) = f (r, \ theta, \ phi)}
k2{\ Displaystyle k ^ {2}}
θ{\ Displaystyle \ theta}
ℓ(ℓ+1){\ Displaystyle \ ell (\ ell +1)}
metro2{\ Displaystyle m ^ {2}}![m ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d80831ded84ee5d9e1708e304c8868aa246409)
De hecho, en este caso, la ecuación angular correspondiente tiene la forma:
1pecadoθDDθ(pecadoθDΘDθ)+(ℓ(ℓ+1)-metro2pecado2θ)Θ(θ)=0{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ derecha) + \ izquierda (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ derecha) \ Theta (\ theta) = 0}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ derecha) + \ izquierda (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ derecha) \ Theta (\ theta) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6add33aa62ccf2dbd8fb8c18232f8509591eb17a)
Demostración
En coordenadas esféricas se escribe la ecuación de Helmholtz:
1r2pecadoθ[pecadoθ∂∂r(r2∂F∂r)+∂∂θ(pecadoθ∂F∂θ)+1pecadoθ∂2F∂ϕ2]+k2F=0,{\ Displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ izquierda [\ sin \ theta {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r ^ {2} { \ frac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} \ izquierda (\ sin \ theta {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} \ derecha) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial \ phi ^ {2}}} \ derecha] + k ^ { 2} f = 0,}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ izquierda [\ sin \ theta {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r ^ {2} { \ frac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} \ izquierda (\ sin \ theta {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} \ derecha) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial \ phi ^ {2}}} \ derecha] + k ^ { 2} f = 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df97ee688a8c59c7f4af1006d924888fe179b0ac)
si ahora se busca una solución separando variables, entonces , ¿qué después de la sustitución y división por :
F(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ Displaystyle f (r, \ theta, \ phi) = R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}
R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ Displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}![{\ Displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3693f94724618aa2891b020cd5d00f93b5a600cc)
1R(r)r2DDr(r2DRDr)+1Θ(θ)r2pecadoθDDθ(pecadoθDΘDθ)+1Φ(ϕ)r2pecado2θD2ΦDϕ2=-k2.{\ Displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ derecha) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ derecha) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753980825a37cfcef89f974c916c41baadf68427)
Dado que esta ecuación debe ser verdadera para todos los valores de , y es una constante, cada uno de los primeros tres términos debe ser igual a una constante. Por tanto, si preguntamos:
(r,θ,ϕ){\ Displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
k2{\ Displaystyle k ^ {2}}![k ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6423cd00e3559de92c4bc497066ff1b12bbfc3)
1Φ(ϕ)D2ΦDϕ2=-metro2,{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e38fe11ad4a4e6a4c3db75919eb27e33c70be4c)
la ecuación se reordena en la forma:
1R(r)DDr(r2DRDr)+k2r2=-1Θ(θ)pecadoθDDθ(pecadoθDΘDθ)+metro2pecado2θ.{\ Displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ right) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ right) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6801df175e355ef5a125472859b13be39bce15a6)
Al tener esta ecuación en forma de variables separadas, cada miembro debe ser igual a la misma constante anotada , por lo que la parte angular según se indica en la forma:
ℓ(ℓ+1){\ Displaystyle \ ell (\ ell +1)}
Θ(θ){\ Displaystyle \ Theta (\ theta)}![\ Theta (\ theta)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2008d1525a647ca07a9c839d34c5ef0ca17db20d)
1pecadoθDDθ(pecadoθDΘDθ)+(ℓ(ℓ+1)-metro2pecado2θ)Θ(θ)=0.{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ derecha) + \ izquierda (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ derecha) \ Theta (\ theta) = 0.}![{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ derecha) + \ izquierda (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ derecha) \ Theta (\ theta) = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c57ea3e2949d0c7d82bf27e6e43fb93d86bc9f)
La ecuación radial corresponde a la ecuación diferencial de funciones esféricas de Bessel .
El cambio de variable permite entonces poner esta ecuación en la forma de la ecuación general de Legendre.
X=porqueθ{\ Displaystyle x = \ cos \ theta}![{\ Displaystyle x = \ cos \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c5f4024d72473459e4112d726b2eab01cefb44)
Expresión en función de polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre asociados se deducen de los polinomios de Legendre mediante la fórmula:
PAGℓ(X){\ Displaystyle P _ {\ ell} (x)}![P _ {{\ ell}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a16bd480e0c257a118bc3a5a33156897b24d3f8)
PAGℓmetro(X)=(-1)metro (1-X2)metro/2 DmetroDXmetro(PAGℓ(X)).{\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (x) \ right).}![{\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (x) \ right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f4c3e7182d75583fdb6c08f60bd4e5569c42c4)
.
Suponiendo que 0 ≤ m ≤ ℓ, con m , ℓ enteros, los polinomios satisfacen la siguiente condición de ortogonalidad para m fijo:
∫-11PAGkmetroPAGℓmetroDX=2(ℓ+metro)!(2ℓ+1)(ℓ-metro)! δk,ℓ,{\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}![{\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724bb987042145b06869e87ccf39b9c0fbdcd2f7)
donde está el símbolo de Kronecker .
δk,ℓ{\ Displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}![{\ Displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491bf71e86812473236e2a85b197221ad9b5815)
También siguen la siguiente condición de ortogonalidad en ℓ fijo:
∫-11PAGℓmetro(X)PAGℓno(X)1-X2DX={0Si metro≠no(ℓ+metro)!metro(ℓ-metro)!Si metro=no≠0∞Si metro=no=0.{\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {cases}}.}![{\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a82a20482881e8a4dd32edcf33e64594faeb6a)
Enlace con armónicos esféricos
Los armónicos esféricos intervienen en particular en la física cuántica , donde corresponden a las funciones propias del momento angular orbital , es decir las comunes a los operadores (cuadrado del momento angular) y de su componente , con las ecuaciones de valor propio:
Yℓ,metro(θ,ϕ){\ Displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
L^2{\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
L^z{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}![{\ hat {L}} _ {z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890c759326e0b9e75b24931dcf2a53862ab309c)
L^2Yℓ,metro(θ,ϕ)=ℏ2ℓ(ℓ+1)Yℓ,metro(θ,ϕ),{\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}![{\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a905dc487134a84d0dfc32a525c4de42c2a7289)
y
L^zYℓ,metro(θ,ϕ)=ℏmetroYℓ,metro(θ,ϕ),{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}![{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffce6dd7becbe073c0fb8bf5a1de57e3d8e8cf82)
.
En coordenadas esféricas estos operadores se ponen en la forma:
L^z=-Iℏ∂∂ϕ,{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ phi}},}
L^2=-ℏ2(1pecadoθ∂∂θ[pecadoθ∂∂θ]+1pecado2θ∂2∂ϕ2).{\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} \ izquierda [\ sin \ theta {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} \ derecha] + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial \ phi ^ {2}}} \ derecha).}
En consecuencia, corresponde a la parte angular del laplaciano, y de hecho las ecuaciones de autovalores son idénticas a las obtenidas al resolver la ecuación de Helmholtz. Por lo tanto, los armónicos esféricos son proporcionales a y , y después de la normalización toman la forma:
L^2{\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
Yℓ,metro(θ,ϕ){\ Displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
PAGℓmetro(porqueθ){\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta)}
miImetroϕ{\ Displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}![{\ Displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0bdecfc528c957dfa826d9254a72f96524cebc)
Yℓmetro(θ,ϕ)=(-1)metro(2ℓ+1)4π(ℓ-metro)!(ℓ+metro)!PAGℓmetro(porqueθ)miImetroϕ.{\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi) = (- 1) ^ {m} {\ sqrt {{{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {( \ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ phi}.}
Tablas de los primeros polinomios asociados de Legendre
Los primeros polinomios asociados de Legendre son:
PAGℓmetro(X){\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}
ℓ{\ Displaystyle \ ell}
|
metro{\ Displaystyle m}
|
---|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
Dakota del Norte
|
Dakota del Norte
|
Dakota del Norte
|
Dakota del Norte
|
1
|
X{\ Displaystyle x}
|
-(1-X2)1/2{\ Displaystyle - (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
Dakota del Norte
|
Dakota del Norte
|
Dakota del Norte
|
2
|
12(3X2-1){\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}
|
-3X(1-X2)1/2{\ Displaystyle -3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
3(1-X2){\ Displaystyle 3 (1-x ^ {2})}
|
Dakota del Norte
|
Dakota del Norte
|
3
|
12(5X3-3X){\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}
|
-32(5X2-1)(1-X2)1/2{\ Displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {3} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {2} -1) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
15X(1-X2){\ Displaystyle 15x (1-x ^ {2})}
|
-15(1-X2)3/2{\ Displaystyle -15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
Dakota del Norte
|
4
|
18(35X4-30X2+3){\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {8}} \ end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3)}
|
-52(7X3-3X)(1-X2)1/2{\ Displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {5} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {3} -3x) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
152(7X2-1)(1-X2){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {15} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}
|
-105X(1-X2)3/2{\ Displaystyle -105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
105(1-X2)2{\ displaystyle 105 (1-x ^ {2}) ^ {2}}
|
Para valores negativos de m basta con utilizar la relación:
PAGℓ-metro=(-1)metro(ℓ-metro)!(ℓ+metro)!PAGℓmetro,{\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}![{\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489e85258626f7e3c8386c7210d1cae739077505)
que se deduce directamente de la fórmula dada anteriormente.
Notas y referencias
Notas
-
Esta ecuación implica que tenemos alguna forma , pero como necesariamente no debe valorarse en el intervalo, m debe ser un número entero relativo .Φ(ϕ){\ Displaystyle \ Phi (\ phi)}
Φ(ϕ)=VSExp(Imetroϕ), con VS∈VS{\ Displaystyle \ Phi (\ phi) = C \ exp (\ imath m \ phi), {\ text {con}} C \ in \ mathbb {C}}
ϕ(ϕ){\ Displaystyle \ phi (\ phi)}
[0,2π[{\ Displaystyle [0.2 \ pi [}
-
El factor es de hecho un factor de fase, dicho de Condon-Shortley, omitido por algunos autores(-1)metro{\ Displaystyle (-1) ^ {m}}
-
En coordenadas esféricas, por lo tanto, es fácil verificar que el Laplaciano toma la forma . Esta propiedad se utiliza en particular en el estudio cuántico del átomo de hidrógeno : el laplaciano interviene en el término de energía cinética y el potencial es invariante por simetría esférica, el hamiltoniano del sistema conmuta entonces con y . La ecuación de Schrödinger para el electrón se puede resolver separando las variables y la solución se da como el producto de una función radial y un armónico esférico .Δ=1r2∂∂r(r2∂F∂r)-L^2ℏ2r2{\ Displaystyle \ Delta = {\ tfrac {1} {r ^ {2}}} {\ tfrac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ tfrac {\ partial f} { \ parcial r}} \ derecha) - {\ tfrac {{\ hat {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}}
L^2{\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}
L^z{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}
Yℓ,metro(θ,ϕ){\ Displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
Referencias
-
Ver en particular Arfken, Métodos matemáticos para físicos , séptima edición, ( ISBN 978-0-12-384654-9 ) .
Ver también
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">