Función de Bessel esférica

En análisis , las funciones esféricas de Bessel son funciones especiales construidas a partir de las funciones de Bessel convencionales e implicadas en algunos problemas que tienen una simetría esférica .

Están definidos por:

{\ Displaystyle j_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2x}} J_ {n + {1 \ over 2}} (x),}

{\ Displaystyle y_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2x}} Y_ {n + {1 \ over 2}} (x) = (- 1) ^ {n + 1} {\ sqrt {\ pi \ over 2x}} J _ {- n - {\ frac {1} {2}}} (x).}

En particular, corresponde a la función del seno cardinal : $j_ {0}$

{\ Displaystyle j_ {0} (x) = {\ rm {sinc}} (x) = {\ sin (x) \ over x}.}

También podemos definir, según el mismo principio, las funciones esféricas de Hankel :

{\ Displaystyle h_ {n} ^ {(1)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2}} {H_ {n + {1 \ over 2}}} ^ {(1)} (x) \ over {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) + {\ rm {i}} y_ {n} (x),}

{\ Displaystyle h_ {n} ^ {(2)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2}} {H_ {n + {1 \ over 2}} ^ {(2)} (x) \ sobre {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) - {\ rm {i}} y_ {n} (x).}

Propiedades

Podemos definir funciones esféricas de Bessel mediante la fórmula de Rayleigh:

{\ Displaystyle j_ {n} (x) = (- x) ^ {n} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} { \ sin (x) \ over x},}

{\ Displaystyle y_ {n} (x) = - (- x) ^ {n} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} {\ cos (x) \ over x}.}

Las funciones generadoras de las funciones esféricas de Bessel son:

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} j_ {n-1} (x) = {\ frac {\ cos ({ \ sqrt {x ^ {2} -2xt}})} {x}},}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-t) ^ {n}} {n!}} y_ {n-1} (x) = {\ frac {\ sin ({\ sqrt {x ^ {2} + 2xt}})} {x}}.}

Estas funciones son las soluciones de la parte radial de la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas , obtenidas separando las variables:

{\ Displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2x {\ frac {dy} {dx}} + (x ^ {2} -n (n +1)) y = 0.}