Puntos cíclicos
En geometría proyectiva , los puntos cíclicos son dos puntos imaginarios comunes a todos los círculos del plano (de ahí su nombre). Son puntos imaginarios en la línea del infinito .
Histórico
Estos puntos se han introducido en 19 º círculo por Jean-Victor Poncelet trabajo 's en la geometría proyectiva. También fueron bautizados umbilicos del plan por Edmond Laguerre .
Caracterización en el plano proyectivo complejo
Las coordenadas homogéneas de los puntos cíclicos en el plano proyectivo complejo son I (1, i, 0) y J (1, -i, 0) .
Estos puntos son la intersección de la línea de infinito de la ecuación homogénea z = 0 y de las dos llamadas líneas isotrópicas de las respectivas ecuaciones y = ix e y = -ix .
Los puntos cíclicos se ubican a distancia cero del origen, como todos los puntos de las líneas isotrópicas.
Curvas algebraicas circulares
Llamamos curva algebraica circular (o simplemente curva circular ) a cualquier curva algebraica que pasa por los dos puntos cíclicos.
Algebraicamente mostramos que la condición necesaria y suficiente para que una curva algebraica sea circular es que el polinomio formado a partir de los términos de mayor grado de su ecuación cartesiana sea divisible por x² + y².
El círculo es la única cónica circular. Según el teorema de Bézout , dos círculos cualesquiera del plano proyectivo complejo tienen 4 puntos de intersección. Dos de estos puntos son siempre los puntos cíclicos, los otros dos pueden ser reales y distintos (círculos que se cruzan), reales y confusos (círculos tangentes) o imaginarios.
Entre las notables curvas algebraicas circulares también encontramos:
- Los óvalos de Cassini y, en particular, la lemniscata de Bernoulli ;
- Cúbicos circulares.
Umbilical
El conjunto de todos los puntos cíclicos de todos los planos del espacio proyectivo (de dimensión 3) se llama umbilical. Está representado por el sistema de ecuaciones (homogéneas) y ; en otras palabras, es el conjunto de puntos infinitos (imaginarios) comunes a todas las esferas .
enlaces externos
- Isla Reunión IREM: cúbicos y triángulos
Referencias
- Memoria sobre el uso de imaginarios en la geometría del espacio, de Edmond Daguerre. Nuevos anales de las matemáticas 2 nd serie, volumen 2, 1872. [1]
- Wikipedia en inglés - Línea isotrópica
- Cúbicos circulares en Enciclopedia de formas matemáticas notables de Robert Ferréol [2]