Punto de conexión

En análisis complejo, la rama punto o rama punto es un punto singular de un multiforme complejo función analítica , tales como el n- ésimo raíz función o el logaritmo complejo . En este punto se intercambian las diferentes determinaciones.

Geométricamente, esta delicada noción está ligada a la superficie de Riemann asociada a la función y se relaciona con la cuestión de la monodromía .

Para dar una imagen, esto corresponde a una escalera de caracol cuyo eje (reducido a un punto) se coloca en la singularidad, sirviendo a varias (o incluso una infinidad) de pisos. En el caso de un número finito de plantas, la escalera tiene una propiedad de periodicidad: cuando llegas a la planta superior, puedes seguir subiendo y te encuentras en la planta baja.

En la práctica, basta con girar un punto de conexión para cambiar de "piso".

Las diferentes etapas se denominan folíolos (o ramas). El orden del punto es igual al número de hojas (ramas).

Definición

Dada una función analítica $f$ y un punto singular aislado $a$ , el punto $a$ es un punto de ramificación cuando la imagen por $f$ de al menos un bucle que rodea $a$ es una curva no cerrada. Se dice que el punto es de orden $n$ si se necesitan como máximo $n$ vueltas alrededor de $a$ para cerrar la curva de la imagen. Si la curva nunca se cierra independientemente del número de vueltas alrededor de $a$ , decimos que el punto de ramificación es trascendente o logarítmico.

El punto en el infinito puede ser un punto de ramificación para $f ( s )$ . Para mostrarlo, consideramos la función $f (1 / s )$ . Si 0 es un punto de bifurcación de $f (1 / s ),$ entonces el infinito es un punto de bifurcación de $f ( s )$ .

Desarrollo en un punto de bifurcación de orden $n$

Sea $f$ una función compleja que admite el punto $a$ como punto de ramificación de orden $n$ . Si $a \neq 0$ , reducimos por traslación al caso donde este punto de ramificación es 0. La función $g$ definida por $g ( s ) = f ( s n )$ es entonces analítica en 0. Para esta función $g$ , el punto 0 n ' por lo tanto, no es un punto de ramificación, lo que implica que admite una expansión en serie de Laurent en 0. Dado que tenemos $f ( s ) = g ( s 1 / n )$ , concluimos que $f ( s )$ admite una expansión en 0 que revela no -poderes enteros. Esta serie se llama serie Puiseux .

Por ejemplo, la expansión de la función en $s$ $= 1$ es igual a: $f (s) = {\ frac {1} {s {\ sqrt {s ^ {2} -1}}}}$

f (s) = {\ frac {1} {2}} \, {\ sqrt {2}} \ left (s-1 \ right) ^ {{- 1/2}} - {\ frac {5} { 8}} \, {\ sqrt {2}} \ left (s-1 \ right) ^ {{1/2}} + {{\ frac {43} {64}}} \, {\ sqrt {2} } \ left (s-1 \ right) ^ {{3/2}} - {{\ frac {177} {256}}} \, {\ sqrt {2}} \ left (s-1 \ right) ^ {{5/2}} + {{\ frac {2867} {4096}}} \, {\ sqrt {2}} \ left (s-1 \ right) ^ {{7/2}} - {{\ frac {11531} {16384}}} \, {\ sqrt {2}} \ left (s-1 \ right) ^ {{9/2}} + O \ left (\ left (s-1 \ right) ^ {{2/11}} \ derecha).

Cortes

Una función que admite un punto de ramificación en $a$ puede uniformarse restringiéndola a una hoja particular de su superficie de Riemann. Para ello definimos una línea, llamada corte , que conecta el punto $a$ con otro punto de bifurcación para evitar que podamos dar la vuelta a $un$ solo. La función así restringida es entonces uniforme, es una rama particular. Cuando queremos hacer coincidir los valores reales de la restricción de $f$ a una hoja con una función clásica de la variable real (que es común en física y en ciencias naturales), elegimos una determinación particular, llamada " rama principal ”.

Ejemplos de

La función raíz n-ésima es una función multiforme que admite el punto 0 como punto de ramificación de orden $n$ .
La función logaritmo neperiana también es multiforme y admite 0 como punto de ramificación de orden infinito (en este caso decimos “punto de ramificación logarítmico” o “singularidad logarítmica”).
O bien . F(s)=sExp⁡(s){\ Displaystyle f (s) = {\ sqrt {s}} \ exp (s)} $f (s) = {\ sqrt {s}} \ exp (s)$
- Para mostrar que 0 es un punto de bifurcación, calculamos $arg ( f ( s ))$ . Consideramos un círculo de radio $r$ alrededor de 0. Encontramos, estableciendo $s = r exp (i t )$ , que tenemos Por lo tanto, tenemos $arg ($ $f$ $($ $s$ $)) =$ $t$ $/ 2 +$ $r$ $sin ($ $t$ $)$ . Cuando $t$ aumenta en $2π$ , vemos que el argumento no aumenta en un múltiplo de $2π$ y que $f$ $($ $s$ $)$ no recupera su valor inicial: 0 es por tanto un punto de bifurcación para f (e incluso podemos decir que es un punto de bifurcación de orden 2 ya que si $t$ aumenta en $4π$ , $f$ $($ $s$ $)$ vuelve a su valor inicial, habiendo aumentado el argumento de $f$ $($ $s$ $)$ en $2π$ ). $f (s) = {\ sqrt r} \ exp ({{\ rm {i}}} t / 2) \ exp (r (\ cos t + {{\ rm {i}}} \ sin t)).$
- Para el punto en el infinito, calculamos de manera similar $f (1 / s )$ y, como antes, consideramos un círculo alrededor de 0 para $s$ . Por tanto, tiene So $arg ($ $f$ $($ $s$ $)) = -$ $t$ $/ 2 -$ $r$ $sin ($ $t$ $)$ . De ello se deduce que, $t$ aumentando en $2π$ , no vuelve a su valor inicial: el punto en el infinito para $f$ $($ $s$ $)$ es, por tanto, un punto de ramificación (de orden 2). $f (1 / s) = {\ frac 1 {{\ sqrt r}}} \ exp (- {{\ rm {i}}} t / 2) \ exp ({\ frac 1r} (\ cos t- { {\ rm {i}}} \ sin t)).$ $f (1 / s)$
O bien . $f (s) = (\ ln (s)) ^ {2}$ es decir, un círculo de radio $r$ atravesado en sentido antihorario alrededor de 0 a partir de un ángulo $t$ . Tenemos . Cuando $t$ aumenta en $2π$ , la parte real de $f$ disminuye en $4π$ $2$ $+ 4π$ $t$ , y la parte imaginaria aumenta en $4π ln ($ $r$ $)$ . Para encontrar el punto desde el que partimos, la variación de la parte real debe ser igual a 0 así como la de la parte imaginaria. Para la parte imaginaria, esto lleva a tomar $r$ $= 1$ . Para la parte real, $t$ $= -π$ . Entonces, el único círculo con centro 0 cuya imagen por $f$ es un círculo es el círculo con radio 1 atravesado en sentido antihorario desde –1. Para cualquier otro par $($ $r$ $,$ $t$ $)$ , el círculo con radio $r$ centrado en 0 nunca se cierra, incluso con radio 1 si se atraviesa partiendo de un punto distinto de –1: el punto 0 es, por tanto, una conexión puntual. $f (r \ exp ({{\ rm {i}}} t)) = (\ ln r + {{\ rm {i}}} t) ^ {2} = \ ln ^ {2} rt ^ {2 } +2 {{\ rm {i}}} t \ ln (r)$
Si $a$ es un punto de bifurcación para $f$ , también es un punto de bifurcación (a priori) para , cuando $g$ es una función entera. $g \ circ f$

Observaciones

El radio de convergencia de una función analítica compleja está limitado por una o más singularidades en su círculo de convergencia. Los puntos de ramificación son uno de ellos.
Por ejemplo ,. Esta función permanece limitada en todas partes de su círculo de convergencia $|$ $z$ $|$ $= 1$ . Por lo tanto, no se puede admitir un polo (que tendería a infinito independientemente de cómo $z$ tiende hacia el polo) o un punto singular clave (para cualquier número mayor que $π$ $2$ $/6$ , existe una secuencia de puntos en los que la suma tendería hacia este número, los puntos restantes de módulo inferior a 1, lo cual es imposible). La única solución es que admite un punto de ramificación. Y de hecho, admite el punto $z$ $= 1$ como punto de ramificación (logarítmico) y como singularidad única. $f (z) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {z ^ {n}} {n ^ {2}}}$
Un punto puede ramificarse en una hoja sin estar en otra.

Superficies Riemann

El concepto de punto de ramificación es útil en el marco de la teoría de superficies de Riemann . De hecho, cuando tenemos una función holomórfica $f : X \to Y$ entre dos superficies de Riemann, si además $Y$ es compacta, entonces $f$ será una cobertura en su imagen menos un número finito de puntos. Estos puntos se denominan puntos de ramificación y sus puntos de ramificación antecedentes.

Ver también