Regularización zeta

La regularización función zeta es un método de regularización de la determinación (en) de los operadores que aparecen en los cálculos de rutas completas en la teoría de campo cuántico .

El caso del laplaciano

O un área compacta de a bordo . En este campo, se considera el operador positivo , donde está el Laplaciano , provisto de condiciones de contorno en el borde del campo (Dirichlet, Neumann, mixto) que especifican completamente el problema. $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ parcial \ Omega$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\Delta$ $\ parcial \ Omega$

Cuando el campo es compacto, el operador positivo tiene un espectro discreto de valores propios con el que se asocia una base ortonormal de vectores propios (aquí se utilizan las notaciones de Dirac ): $\Omega$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ Displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Función zeta espectral

Definición

Asumimos aquí que el fundamental . Por analogía con la función zeta de Riemann , introducimos la función zeta espectral mediante la serie de tipos de Dirichlet : ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

Esta serie solo converge para $Re$ ( s ) lo suficientemente grande, pero admite una extensión meromórfica a todo el plano complejo.

Cuando el espectro del operador no se conoce explícitamente, podemos usar la definición formal como traza : ${\ hat {H}}$

${\ Displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ exp \ \ left [\ - \ s \ \ ln {\ hat {H}} \ \ right]}$

Vínculo con el determinante

El determinante del operador H está definido por:

${\ Displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

Con la identidad:

${\ Displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ left (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ derecha) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}$

demostramos fácilmente la relación formal:

${\ Displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ left [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}$

donde la derivada de la función zeta se evalúa en s = 0.

Enlace con el núcleo de calor

La función zeta está vinculada por una transformación de tipo Mellin :

${\ Displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} t \ t ^ {s- 1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

las trazas del núcleo de calor , definido por:

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Vínculo con la integral

Para n entero, la regularización zeta permite dar un significado a integrales divergentes de la forma ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n} \:}$

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n} = {\ frac {n} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d } xx ^ {n-1} + \ zeta (-n) - \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2r}} {(2r)!}} a_ {n, r } (n-2r + 1) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n-2r}}

a _ {{n, r}} = {\ frac {\ Gamma (n + 1)} {\ Gamma (n-2r + 2)}}

Este método fue introducido en la teoría cuántica de campos por físicos como James Hartle y Emilio Elizalde. Puede usarse para regularizar el producto de dos distribuciones usando el teorema de convolución con integrales divergentes ${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} t (xt) ^ {m} t ^ {n}}$

Extensiones

Todas las definiciones anteriores se trasponen de forma bastante natural al caso del operador de Laplace-Beltrami en una variedad compacta de Riemann , que luego también tiene un espectro discreto. También se extienden al caso de las variedades no compactas a bordo cuando el espectro aún es discreto.

También es posible ampliar la teoría para otro operador elíptico .

Bibliografía

Libros de referencia

(en) E. Elizalde, Diez aplicaciones físicas de las funciones espectrales de Zeta , Lecture Notes in Physics. Nueva Serie M35 (Springer-Verlag, 1995), capítulo 1 .
(en) E. Elizalde, SD Odintsov, A. Romeo y S. Zerbini, Zeta Regularization Techniques With Applications , (World Scientific, 1994).

Artículos

(en) JS Dowker y R. Critchley, Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in De Sitter spacee , Physical Review D 13 (1976), 3224-3232.
(en) Stephen Hawking , Regularización de funciones Zeta de integrales de trayectoria en el espacio-tiempo curvo , Communications in Mathematical Physics 55 (2) (1977), 133-148. Proyecto Euclid .
(en) André Voros, Funciones espectrales , funciones especiales y la función zeta de Selberg , Communications in Mathematical Physics 110 (3) (1987), 439–465. Proyecto Euclid .
Pierre Cartier y André Voros, Nueva interpretación de la fórmula de la traza de Selberg , Días de ecuaciones diferenciales parciales (1988), Art. No. 13. Numdam

(en) E. Elizalde, La regularización de la función zeta está bien definida y bien , Journal of Physics A 27 (1994), L299-304.