Modelo de ising

El modelo de Ising es un modelo de física estadística . Se ha utilizado para modelar diferentes fenómenos en los que los efectos colectivos son producidos por interacciones locales entre partículas de dos estados.

El ejemplo principal es el ferromagnetismo para el que el modelo de Ising es un modelo de celosía de momento magnético , en el que las partículas siempre están orientadas a lo largo del mismo eje espacial y solo pueden tomar dos valores, + M y -M.

Este modelo a veces se denomina modelo de Lenz-Ising . Debe su nombre a los físicos Wilhelm Lenz y Ernst Ising .

Aplicaciones

Materiales ferromagnéticos

Este modelo permite describir con relativa sencillez el magnetismo de los materiales ferromagnéticos que presentan una anisotropía muy fuerte con una dirección privilegiada muy marcada.

Aleaciones binarias

Otra aplicación del modelo de Ising es la descripción de aleaciones binarias . En este caso, los momentos magnéticos + M representan una de las especies atómicas, y los momentos magnéticos -M representan las otras especies atómicas. El orden de largo alcance del modelo de Ising puede describir una separación de fases entre las dos especies (en el caso de que la fase de baja temperatura en todo momento sea igual a -M o + M) o una fase ordenada en la que una de las subredes lleva átomos de una especie (momentos + M) y la otra subred de átomos de la otra especie. La fase desordenada del modelo de Ising describe respectivamente un estado donde las dos especies se mezclan o un estado donde las subredes son equivalentes. El segundo caso se llama transición orden-desorden. Esta versión del modelo de Ising se llama modelo Bragg y Williams (en) (1934-1936).

Transición líquido-gas

Una tercera aplicación de este modelo es la descripción de una transición de gas líquido. En esta versión, los sitios con un momento + M representan sitios ocupados por un átomo, y aquellos con un momento -M representan sitios desocupados. El campo magnético se convierte en esta descripción en el potencial químico de los átomos. Dado que la transición de fase se produce en presencia del campo magnético , es una transición de primer orden entre un estado líquido de alta densidad y un estado gaseoso de baja densidad. Esta versión del modelo de Ising se llama modelo de gas de celosía.

Hamiltoniano

El hamiltoniano de este modelo está escrito:

$H = - \ sum _ {{i, j}} J _ {{ij}} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} -h \ sum _ {{i}} \ sigma _ {i} ~$

$J _ {{ij}}$ es la interacción de intercambio del modelo y el campo magnético. En general, consideramos el modelo de Ising con interacción entre primeros vecinos solamente. $h$

Estado fundamental

En el caso , el estado fundamental de es aquel en el que todos los momentos tienen el mismo valor. En el caso de una red bipartita, el fundamental también es fácil de encontrar, todos los momentos tienen el valor en una de las subredes y en la otra subred. En el caso de una red no bipartita, y para , la situación es más complicada ya que todas las energías de interacción entre los momentos no pueden minimizarse simultáneamente. En este caso, se dice que el modelo de Ising está frustrado. Para un modelo de Ising frustrado, lo fundamental puede no ser único e incluso puede tener una degeneración macroscópica (este es el caso del modelo de Ising frustrado en la red triangular bidimensional). En algunos casos, es posible calcular exactamente la degeneración fundamental (GH Wannier, 1950). $J _ {{ij}}> 0$ $h = 0$ $J _ {{ij}} <0$ $METRO$ $-METRO$ $J _ {{ij}} <0$

También es posible considerar modelos de Ising con interacciones aleatorias (modelo de Edwards-Anderson si las interacciones son de corto alcance, modelo de Sherrington y Kirkpatrick si las interacciones son de largo alcance). Estos modelos describen materiales en los que se han diluido impurezas magnéticas en un metal. La frustración impide que estos modelos desarrollen un orden convencional de largo alcance y juega un papel importante en la formación de un estado de vidrio giratorio.

A continuación, solo trataremos el modelo no frustrado con interacciones deterministas.

Una dimensión

En una dimensión, el modelo de Ising es exactamente soluble por el método de la matriz de transferencia. Históricamente, esta solución se remonta a la tesis de Ising ( 1925 ) bajo la dirección de Wilhelm Lenz . Esta solución muestra que la energía libre es analítica para cualquier temperatura, lo que significa que este modelo no tiene transición de fase. Un argumento físico muy general, expuesto en Landau y Lifshitz , nos permite mostrar que cualquier modelo unidimensional con interacciones de corto alcance no puede tener una transición de fase a temperatura positiva, la energía requerida para crear defectos siempre está compensada en gran medida por la ganancia de entropía. . FJ Dyson estudió modelos de Ising con interacción de largo alcance en una dimensión, como . Demostró que para estos modelos se ordenaron a cualquier temperatura y para estos modelos se desordenaron a cualquier temperatura. Solo el caso podría dar lugar a una transición de fase. El trabajo posterior de PW Anderson , G. Yuval y DR Hamman sobre el efecto Kondo mostró que había una relación entre el modelo de Ising de largo alcance con y el efecto Kondo. Por tanto, el modelo con puede presentar una transición de fase, que presenta analogías con la transición de Berezinsky, Kosterlitz y Thouless . $J _ {{ij}} = | ij | ^ {{- \ sigma}}$ $\ sigma <2$ $\ sigma> 2$ $\ sigma = 2$ $\ sigma = 2$ $\ sigma = 2$

Dos dimensiones

Solución exacta

En el caso bidimensional, Rudolf Peierls pudo demostrar en 1936 que el modelo de Ising tenía una transición de fase . Los argumentos teóricos (dualidad) de Kramers y Wannier permitieron predecir en 1941 la temperatura a la que se produce esta transición de fase. La solución del modelo, en campo cero, en el sentido del cálculo exacto de la energía libre se debe a Lars Onsager en 1944. El método de Onsager generaliza el método de la matriz de transferencia al caso bidimensional. Requiere el estudio de un álgebra matricial (ver el libro de Kerson Huang). Siendo este método muy complicado, otros físicos han buscado desarrollar técnicas de resolución más simples para este modelo. Un enfoque de Kauffmann llevó a poner el modelo de Ising bidimensional en relación con un modelo de fermión unidimensional sin interacciones. Este enfoque se desarrolló posteriormente utilizando métodos de álgebras de Grassmann por Samuel. Se describe en el libro de C. Itzykson y JM Drouffe. Otro enfoque de Kac y Ward (1952) consiste en reducir el cálculo de la función de partición a una enumeración de gráficos. Este enfoque se describe en el libro de Landau y Lifchitz .

El comportamiento del parámetro de orden por debajo de la temperatura de transición fue conjeturado por Onsager en 1949. La conjetura de Onsager fue demostrada por CN Yang en 1952. Un método más simple, que usa matrices de Toeplitz y el lema de Szego fue introducido por EW Montroll, JC Ward y Renfrey B. Potts en 1963. Tracy, McCoy y Wu obtuvieron las funciones de correlación en 1976 en términos de funciones de Painlevé III. Los resultados de Tracy, MacCoy y Wu no se limitan al punto crítico del modelo Ising, sino que también son válidos para el modelo Ising no crítico.

Por otro lado, L. Kadanoff y H. Ceva ampliaron la dualidad Kramers-Wannier en 1971, quienes introdujeron el operador del trastorno . En la fase de alta temperatura y . La situación se invierte en la fase de alta temperatura. La dualidad Kramers-Wannier intercambia los operadores de orden y desorden (y obviamente también intercambia sus funciones de correlación). $\ mu$ $\ langle \ sigma \ rangle = 0$ $\ langle \ mu \ rangle \ neq 0$

Importancia del modelo de Ising para el desarrollo de la teoría de los fenómenos críticos

El interés del modelo de Ising proviene del hecho de que este modelo exactamente soluble tiene exponentes críticos diferentes de los dados por las teorías de campo medio. Por ejemplo, el exponente crítico de la longitud de correlación en el campo medio es ν = 1/2 mientras que es ν = 1 en el modelo de Ising. Otro ejemplo es el exponente del parámetro de orden que vale β = 1/8 en el caso del modelo de Ising y β = 1/2 en el caso de una teoría de campo medio. La solución del modelo de Ising bidimensional permitió demostrar que la mecánica estadística era capaz de predecir transiciones de fase y describir comportamientos críticos más complejos que los de las teorías de campo medio. Esto allanó el camino para el trabajo posterior de ME Fisher, LP Kadanoff y H. Widom sobre el supuesto de universalidad y la invariancia de escala casi crítica en la década de 1960 . En particular, el modelo de Ising satisface las relaciones entre exponentes críticos resultantes del supuesto de homogeneidad de Widom, así como la relación de hiperescalado. El desarrollo del grupo de renormalización para transiciones de fase en la década de 1970 permitió entonces justificar estas hipótesis.

Invarianza conforme del modelo de Ising

Como muchos otros modelos bidimensionales, el modelo de Ising de punto crítico tiene la propiedad de invariancia conforme , con la carga central . $c = 1/2$

Esta propiedad permite calcular exactamente en el punto crítico todas las funciones de correlación de n puntos (y no solo las funciones de dos puntos). Además, la invariancia conforme también permite construir un álgebra de operadores que involucran la magnetización del peso conforme (1 / 16.1 / 16), el operador del trastorno de Kadanoff y Ceva del peso conforme (1/16, 1/16), el Fermión de Kauffmann operadores de peso conforme (1 / 2,0) y (0,1 / 2) y el operador de densidad de energía de peso conforme (1 / 2,1 / 2). Tenemos las relaciones: $\ sigma$ $\ mu$ $\ psi$ $\ epsilon$

$\ sigma \ sigma \ sim 1+ \ epsilon ~$

$\ mu \ sigma \ sim \ psi ~$

$\ mu \ mu \ sim 1+ \ epsilon ~$

$\ psi \ psi \ sim \ epsilon ~$

donde los productos se entienden como desarrollos de los productos de los operadores. Este álgebra se puede generalizar para dar lugar a teorías parafermiónicas conformes. El modelo de Ising también se puede obtener de los modelos de Wess-Zumino-Witten mediante un procedimiento de cociente. El modelo de Ising es el cociente . $(SU (2) _ {1} \ veces SU (2) _ {1}) / SU (2) _ {2}$

La teoría conforme del modelo de Ising puede ser alterada por un operador de la forma . AB Zamolodchikov pudo demostrar que esta teoría perturbada era integrable y pudo conjeturar la matriz de la teoría de campo masivo que describe el modelo perturbado. $h \ sigma (x)$ $S$

El hecho de que el modelo de Ising tenga la carga central permite reducir el modelo de doble Ising a una teoría de carga central que puede describirse como un orbifold de la teoría del bosón libre. $c = 1/2$ $c = 1$

Tres dimensiones

Para el modelo de Ising en tres dimensiones, todavía no hemos encontrado una solución analítica. Sin embargo, es posible calcular los exponentes críticos del modelo de Ising cerca de la transición utilizando el grupo de renormalización o mediante bootstrap conforme . Una tabla de estos expositores se puede encontrar en el libro de Claude Itzykson y JM Drouffe.

Podríamos calcular su temperatura crítica mediante simulaciones por ordenador (Monte Carlo).

Cuatro dimensiones y más

Aunque este caso no es físico, los exponentes críticos del modelo de Ising son los de la teoría del campo medio. En el lenguaje del grupo de renormalización, cuatro es la dimensión crítica superior del modelo de Ising. Además, la teoría del campo medio es la solución exacta de un modelo de Ising de rango infinito definido por el hamiltoniano :

H = - {\ frac JN} (\ sum _ {i} \ sigma _ {i}) ^ {2} ~

Formalmente, este modelo describe un momento magnético que interactúa con varios vecinos y que tiende hacia el infinito. Por tanto, puede verse como el límite de la dimensión infinita del modelo de Ising. Si en lugar de definir el modelo de Ising en dimensión infinita usando una interacción de alcance infinito, fijamos el número de vecinos considerando un modelo en un árbol de Cayley (también llamado celosía Bethe), encontramos que la solución exacta viene dada por Bethe- Aproximación de Peierls. Esta aproximación proporciona una mejor estimación de la temperatura en comparación con el campo medio, pero debido a que también es un método autoconsistente, reproduce los exponentes del campo medio.

Función de partición de un conjunto de giros de Ising en el campo medio

Sin interacción entre primeros vecinos

Este es el modelo más simple. La energía de cada momento solo puede tomar por valor + MH o -MH, siendo H el campo medio. Por tanto, la función de partición toma el valor:

Z = (e ^ {{\ beta MH}} + e ^ {{- \ beta MH}}) ^ {N} ~

de donde se puede deducir fácilmente la magnetización, la susceptibilidad magnética, las cantidades termodinámicas, etc.

Con interacción entre primeros vecinos

La forma más simple de interacción entre los primeros vecinos es del tipo donde J es la constante de acoplamiento. En tal caso, la energía involucrada en la interacción toma en el caso de Ising hace girar el valor o. La energía de toda la cadena toma la forma $JM_ {i} M _ {{i + 1}}$ $JM ^ {2}$ $-JM ^ {2}$

E = \ sum _ {i} HM_ {i} + \ sum _ {i} JM_ {i} M _ {{i + 1}} ~

y la función de partición toma la forma

Z = \ sum _ {{\ {M_ {i} \}}} \ exp (- \ beta \ sum _ {i} (HM_ {i} + JM_ {i} M _ {{i + 1}})) ~

En este caso, podemos reducirnos al problema de los giros sin interacción mediante el siguiente truco: Reemplazamos las variables por las variables . De ello resulta una posible factorización de Z: $Medio}$ $M_ {i} '= {M_ {i} + M _ {{i + 1}} \ over 2}$

Z = \ sum _ {{\ {M_ {i} '\}}} \ exp (\ beta \ sum _ {i} (- HM_ {i}' + 2JM_ {i} '^ {2} - {JM ^ {2} \ over 2})) ~

= \ prod _ {i} (\ sum _ {{valM_ {i} '}} \ exp (\ beta (-HM_ {i}' + 2JM_ {i} '^ {2} - {JM ^ {2} \ más de 2}))) ~

o de nuevo:

\ exp (- \ beta {NJM ^ {2} \ over 2}) (\ exp (\ beta (-HM + 2JM ^ {2})) + \ exp (\ beta (HM + 2JM ^ {2})) +1) ^ {N} ~

De esta manera, las diversas variables termodinámicas aún se pueden calcular con relativa simplicidad.

Interés del modelo

A pesar de la simplicidad del cálculo unidimensional, el cálculo bidimensional es muy complejo. En cuanto al cálculo tridimensional exacto por métodos tradicionales, es imposible. La extrema sencillez de la interacción elemental permite, por tanto, mostrar de forma muy elegante toda la complejidad debida a la geometría del material estudiado. Si añadimos que el giro de Ising es un modelo muy adecuado para simulaciones numéricas por ordenador, no nos sorprenderá la popularidad de un modelo aparentemente tan sencillo.

Notas y referencias

Bibliografía

LD Landau y EM Lifchitz, curso de física teórica t. 5, Física Estadística (Mir)

Kerson Huang, Mecánica estadística (Wiley)

R. Kubo, T. Toda, J. Hashitsume, Física estadística I (Springer-Verlag)

C. Itzykson y JM Drouffe, Teoría estadística de los campos I (CNRS-Interéditions)

P. Di Francesco, P. Mathieu, D. Sénéchal Teoría del campo conformado (Springer)

C. Itzykson y JM Drouffe Statistical Field Theory II (CNRS-Interéditions)

HO. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions (de Gruyter Studies in Mathematics)

S. Friedli y Y. Velenik, Mecánica estadística de sistemas de celosía: una introducción matemática concreta (Cambridge University Press); también disponible en esta página