Grupo de renormalización

En mecánica estadística , el grupo de renormalización (que es más bien un semi-grupo, los cambios no son reversibles) es un conjunto de transformaciones que transforman a un hamiltoniano en otro hamiltoniano eliminando grados de libertad dejando la función de partición invariante.

El grupo de renormalización se utiliza para calcular los exponentes críticos de una transición de fase . También puede predecir la transición Berezinsky-Kosterlitz-Thouless . En física de la materia condensada, permite tratar el Efecto Kondo y el líquido Luttinger . También tiene aplicaciones en la teoría de sistemas desordenados.

Histórico

En mecánica estadística , el grupo de renormalización fue introducido por Kenneth G. Wilson a principios de la década de 1970. Previamente, en la teoría cuántica de campos , el grupo de renormalización se había estudiado como una invariancia de la teoría de campos renormalizados bajo el efecto de una variación de los parámetros desnudos para un punto de resta fijado por E. Stueckelberg y A. Petermann (1953), así como por Murray Gell-Mann y F. Low (1954).

El grupo de renormalización en el marco de la teoría cuántica de campos se analiza en el libro de Bogoliubov y Shirkov. Sin embargo, las técnicas de renormalización derivadas de la teoría de campo no se aplicaron a los fenómenos críticos hasta después del trabajo de Wilson.

Para el efecto Kondo, el trabajo de PW Anderson, DR Hamman y A. Yuval (1970) utiliza técnicas análogas al grupo de renormalización, aunque este trabajo es anterior al de Wilson sobre fenómenos críticos. M. Fowler y A. Zawadowski desarrollaron luego un enfoque de renormalización multiplicativa derivado de la teoría de campo (1974). La solución del efecto Kondo por un grupo de renormalización numérica se debe a Wilson (1975).

En el caso del líquido de Luttinger, la solución por el grupo de renormalización se debe nuevamente a J. Solyom y A. Zawadowski (1974). En cuanto a la transición Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, su predicción por parte del grupo de renormalización se remonta a 1973.

Definición

Considere un conjunto de grados de libertad anotados (por ejemplo, puede representar la densidad de magnetización en un sistema magnético o giros en un modelo de Ising ) y grados de libertad separados, y . En el caso de un modelo continuo, corresponderá a la parte del campo cuyas componentes de Fourier corresponden a longitudes de onda cortas. Para un modelo discreto como el modelo de Ising representa un subconjunto del conjunto de giros que serán eliminados por una transformación de diezmado. $\ phi (x)$ $\ phi (x)$ ${\ Displaystyle \ phi _ {<}}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {>}}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {>}}$ $\ phi (x)$ ${\ Displaystyle \ phi _ {<}}$

Llamemos a Z la función de partición del modelo y el hamiltoniano. La función de partición está escrita: ${\ Displaystyle H [\ phi] = H [\ phi _ {<}, \ phi _ {>}]}$

{\ Displaystyle Z = \ int d [\ phi] e ^ {- H [\ phi] / k_ {B} T},}

y la transformación de renormalización es: $R$

{\ Displaystyle e ^ {- H '[\ phi _ {<}] / k_ {B} T} = \ int d [\ phi _ {>}] e ^ {- H [\ phi _ {<}, \ phi _ {>}] / k_ {B} T},}

que notamos ${\ Displaystyle H '= R (H)}$

La transformación da una expresión de la función de partición:

{\ Displaystyle Z = \ int d [\ phi _ {<}] e ^ {- H '[\ phi _ {<}] / k_ {B} T}}

Un ejemplo muy simple de renormalización lo da el modelo unidimensional de Ising. Si elegimos como los giros y como los giros , verificamos fácilmente que la transformación de renormalización cambia el hamiltoniano del modelo de Ising en una dimensión con interacción en el hamiltoniano de un modelo de Ising en una dimensión con una interacción . En general, el nuevo hamiltoniano producido por la transformada de renormalización es más complicado que el hamiltoniano inicial, y es necesario hacer algunas aproximaciones. ${\ Displaystyle \ phi _ {<}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {2n}}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {>}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {2n + 1}}$ $J$ ${\ Displaystyle J '= k_ {B} T \ ln (\ cosh (2J / k_ {B} T)) / 2}$

En el caso de los modelos continuos, como la elección del límite impuesto a los componentes de Fourier no está impuesta por la transformación, las transformaciones del grupo de renormalización son transformaciones continuas. Notamos la aplicación sucesiva de transformaciones y en la forma . $R_ {s}$ ${\ Displaystyle R_ {s '}}$ ${\ Displaystyle R_ {s + s '} = R_ {s} R_ {s'}}$

Puntos fijos

Al iterar las transformaciones del grupo de renormalización para valores particulares de los parámetros iniciales, es posible alcanzar un punto fijo, es decir, un hamiltoniano como . En la teoría de los fenómenos críticos, al estar las transformaciones de renormalización ligadas a cambios de escalas, un sistema descrito por un hamiltoniano de punto fijo presenta la misma apariencia sea cual sea la escala a la que se considere. Esto significa que las funciones de correlación deben tener la forma: ${\ Displaystyle H ^ {*}}$ ${\ Displaystyle H ^ {*} = R (H ^ {*})}$

{\ Displaystyle \ langle \ phi (r) \ phi (0) \ rangle \ sim r ^ {- (d-2 + \ eta)}}

es decir, el sistema está en el punto crítico y tiene una longitud de correlación . ${\ Displaystyle \ xi = \ infty}$

Campos esenciales y no esenciales

Si ahora suponemos que cambiamos los parámetros del hamiltoniano , de modo que este hamiltoniano se escribe $H$

{\ Displaystyle H = H ^ {*} + \ sum _ {i} g_ {i} O_ {i}}

donde se denominan "operadores" y se denominan "campos". Podemos estudiar cómo evoluciona el hamiltoniano bajo la acción de sucesivas transformaciones de renormalización. Para arreglar las ideas, imagine que el grupo de transformaciones es un grupo continuo. Los campos luego obedecen a ecuaciones de evolución: $O_ {i}$ $g_ {i}$ $g_ {i}$

{\ Displaystyle {\ frac {dg_ {i}} {ds}} = \ beta _ {i} (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}

Si queremos estudiar la estabilidad, basta con linealizar las funciones . Después de una posible transformación lineal, las ecuaciones de evolución de campo tienen como solución: $\ beta_i$

{\ Displaystyle g_ {i} = e ^ {sy_ {i}} g_ {i} (0)}

Porque , el campo crece bajo la acción de transformaciones de renormalización. Decimos que es un "campo esencial" (terminología de C. Itzykson y JM Drouffe) o "relevante" (terminología de N. Boccara). En inglés hablamos de " campo relevante ". ${\ Displaystyle y_ {i}> 0}$ $g_ {i}$ $g_ {i}$

Porque , el campo disminuye bajo la acción de las transformaciones de renormalización. Decimos que es un "campo no esencial" (terminología de C. Itzykson y JM Drouffe) o "irrelevante" (terminología de N. Boccara). En inglés hablamos de " campo irrelevante ". ${\ Displaystyle y_ {i} <0}$ $g_ {i}$ $g_ {i}$

Porque , el campo no varía en orden lineal. Entonces hablamos de “campo marginal”. Para conocer la estabilidad del punto fijo es necesario ir más allá del orden lineal. Para un campo creciente no lineal, hablaremos de un campo "marginalmente esencial" o "marginalmente relevante". $y_i = 0$ $g_ {i}$

En la teoría de los fenómenos críticos, la temperatura y el campo magnético son los únicos campos relevantes en las proximidades del punto crítico. La solución de las ecuaciones de renormalización permite mostrar que en las proximidades del punto crítico la energía libre es de la forma:

{\ Displaystyle F = (T-T_ {c}) ^ {2- \ alpha} f (H / (T-T_ {c}) ^ {\ gamma + \ beta})}

y por lo tanto satisface la hipótesis de homogeneidad de Widom. De manera más general, el grupo de renormalización permite predecir el conjunto de exponentes críticos del sistema al estudiar cómo su hamiltoniano se aleja del hamiltoniano de punto fijo bajo la acción del grupo de renormalización.

Métodos de renormalización

" No hay ningún libro de cocina para el grupo de renormalización "

- KGWilson

Existe una gran variedad de formas de implementar el grupo de renormalización. Primero, podemos usar un enfoque numérico en el que usamos una computadora para mantener todas las constantes de acoplamiento generadas por el diezmado.

En segundo lugar, podemos utilizar un enfoque analítico perturbativo alrededor de un punto fijo. Entre los enfoques perturbativos, podemos mencionar el enfoque original de Wilson de integración en modos de longitud de onda corta, métodos diagramáticos de la teoría cuántica de campos (Brézin, Zinn-Justin, Le Guillou), renormalización multiplicativa (Solyom, Fowler, Zawadowski, Di Castro, Jona-Lasinio ), Métodos de gas de Coulomb (Kosterlitz, Halperin, Nelson, Young), métodos de desarrollo de productos del operador (Cardy).

Finalmente, F. Wegner y A. Houghton desarrollaron enfoques analíticos no perturbadores en la década de 1970 y luego fueron adoptados y adoptados en la forma que utilizan actualmente U. Ellwanger, T. Morris y C. Wetterich. Se han aplicado tanto en física de altas energías como en mecánica estadística.

Notas y referencias

Apéndices

Bibliografía

Libros

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Nino Boccara, Simetrías rotas , Herrmann (1976), ( ISBN 978-2705613785 )
Philip Warren Anderson , nociones básicas de la física de la materia condensada , Addison-Wesley (1984), ( ISBN 0201328305 ) - 2 nd revisión (1997): ( ISBN 978-0201328301 )
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Cursos y articulos

Michel Bauer, Introducción a los vínculos entre la mecánica estadística y la teoría de campos.
A. Pelissetto y E. Vicari; Fenómenos críticos y teoría de grupos de renormalización , (2000). Texto completo disponible en ArXiv: cond-mat / 0012164 .
Hagen Kleinert , "Exponentes críticos de la teoría de φ4 de acoplamiento fuerte de siete bucles en tres dimensiones" . Physical Review D 60, 085001 (1999)] DOI : 10.1103 / PhysRevD.60.085001 .
TR Morris; El Grupo de Renormalización Exacta y Soluciones Aproximadas , (1993). Texto completo disponible en ArXiv: hep-ph / 9308265 .
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