Modelo Black-Scholes

El modelo de Black-Scholes se utiliza para designar dos conceptos muy similares:

el modelo Black-Scholes o modelo Black-Scholes-Merton que es un modelo matemático del mercado de una acción , en el que el precio de la acción es un proceso estocástico en tiempo continuo ; a diferencia del “ modelo de Cox Ross-Rubinstein ” que sigue un proceso estocástico en tiempo discreto (cf. los procesos estocásticos son funciones aleatorias del tiempo);
la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes es la ecuación satisfecha por el precio de una derivada de una primitiva.

Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que desarrolla el aspecto matemático de un modelo de valoración de opciones , citando el trabajo de Fischer Black y Myron Scholes . Estos, publicados en 1973 , se basan en los desarrollos de teóricos como Louis Bachelier o Paul Samuelson . La contribución fundamental del modelo de Black and Scholes es relacionar el precio implícito de la opción con los cambios en el precio del activo subyacente.

Robert Merton y Myron Scholes recibieron en 1997 el premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en Memoria de Alfred Nobel por su trabajo. Fischer Black, quien murió en 1995 y, por lo tanto, no era elegible, fue citado como colaborador.

Supuestos y modelo

El modelo de Black-Scholes se basa en una serie de condiciones:

el precio del activo subyacente S t sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad constante y deriva constante: $\ sigma$ $\ mu$

{\ Displaystyle Pr [{\ frac {\ Delta p_ {t} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}} <{\ frac {VaR_ {q} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}}] = 1-q}

es un proceso de Wiener ,

{\ Displaystyle \ phi ^ {-} 1 (1-q)}

es un proceso de Wiener ,

{\ Displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p_ {t})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

es un proceso de Wiener ,

{\ Displaystyle VaR_ {q} = - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

es un proceso de Wiener ,

{\ Displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p _ {\ textbf {P}})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p _ {\ textbf {P}}) }

es un proceso de Wiener ,

{\ Displaystyle ES_ {p} = E [X | X> VaR_ {p}]}

es un proceso de Wiener ,

{\ Displaystyle ES_ {p} = {\ frac {1} {p}} \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {p} VaR (_ {\ theta}) (X) \, \ mathrm {d} \ theta }

es un proceso de Wiener ;

no hay oportunidades de arbitraje;
el tiempo es una función continua ;
es posible realizar ventas al descubierto ;
no hay costos de transacción;
existe una tasa de interés libre de riesgo , conocida de antemano y constante;
todo el subyacente son perfectamente divisibles (por ejemplo, usted puede comprar 1/100 º de una acción);
en el caso de una acción, no paga dividendos entre el momento en que se valúa la opción y su vencimiento.

Cada una de estas hipótesis es necesaria para la demostración de la fórmula.

Cuando se cumplen todas estas hipótesis, entonces hablamos de un modelo de Black-Scholes, o decimos que estamos en el caso de Black-Scholes. El modelo, por sus supuestos, no se corresponde con la realidad de los mercados financieros. Pero la generalización del uso de este modelo se refiere a la noción de “mimetismo racional” (o, precisamente, en este caso “irracional”) que provoca el fenómeno de la toma de decisiones “autocumplida”. Por ejemplo, cuando el pastor de un rebaño salta al agua y sus ovejas lo siguen, podemos anticipar y concluir que el rebaño y el pastor se van a mojar. El resultado final es relevante pero la hipótesis inicial lo es menos.

Fórmula de Black-Scholes

La fórmula de Black-Scholes permite calcular el valor teórico de una opción europea a partir de los siguientes cinco datos:

${\ mathcal {}} S_ {0}$ el valor actual de la acción subyacente
${\ mathcal {}} T$ el tiempo que le queda a la opción antes de que expire (expresado en años),
${\ mathcal {}} K$ el precio de ejercicio fijado por la opción,
${\ mathcal {}} r$ la tasa de interés libre de riesgo ,
${\ mathcal {}} \ sigma$ la volatilidad del precio de la acción.

Si los primeros cuatro datos son obvios, la volatilidad del activo es difícil de evaluar. Dos analistas pueden tener una opinión diferente sobre el valor de elegir. ${\ mathcal {}} \ sigma$ ${\ mathcal {}} \ sigma$

El precio teórico de una opción de compra , que otorga el derecho pero no la obligación de comprar el activo S al valor K en la fecha T, se caracteriza por su pago : $({\ mathcal {S}} _ {{T}} - K) ^ {{+}} = \ max (S _ {{T}} - K; 0)$

Está dada por la expectativa bajo la probabilidad de riesgo neutral del pago final actualizado .

${\ Displaystyle C = \ mathbb {E} ({\ text {Pago}} \ times e ^ {- rT}) ~}$ ,

ya sea la fórmula de Black-Scholes:

${\ Displaystyle C (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = S_ {0} {\ mathcal {N}} (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} {\ mathcal {N} } (d_ {2})}$

De manera similar, el precio teórico de una opción de venta al pago viene dado por: $(K - {\ mathcal {S}} _ {{T}}) ^ {{+}} = \ max (K-S _ {{T}}; 0)$

${\ Displaystyle P (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = - S_ {0} {\ mathcal {N}} (- d_ {1}) + Ke ^ {- rT} {\ mathcal { N}} (- d_ {2})}$

con

${\ mathcal {N}}$ la función de distribución de la ley normal centrada reducida , es decir ${\ mathcal {N}} \ left (0,1 \ right)$ ${\ mathcal {N}} (x) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{x}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {{- {\ frac {1} {2}} u ^ {2}}} de$
$d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S_ {0}} {K}} \ right) + \ left (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T \ right]$
$d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {T}}$

La fórmula también se puede aplicar a la inversa. Dado el precio de la opción que se cotiza en los mercados, ¿qué valor de debe elegirse para que la fórmula de Black-Scholes dé exactamente ese precio? Obtenemos así la volatilidad implícita que es de gran interés práctico y teórico. ${\ mathcal {}} \ sigma$

Demostración

El cálculo del precio de una opción de pago europea se basa en la fórmula que aceptamos aquí (la expectativa se toma bajo probabilidad neutral al riesgo). $h$ $C = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} h]$

El precio de un call europeo con vencimiento T y strike K está escrito:

${\ begin {alineado} C & = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} (S_ {T} -K) {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K }}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{-rT}} {\ mathbb {E}} [{1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb { E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{- rT}} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) \ end {alineado}}$

Estos dos últimos términos se pueden calcular explícitamente utilizando la expresión de precio del subyacente. Por tanto, comenzaremos por establecer esta expresión. Se coloca bajo probabilidad neutral al riesgo, lo que significa que la deriva es (o r-a ', siendo a' la tasa de dividendo) . $r$ ${\ frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} = rdt + \ sigma dW_ {t}$

Consideramos que los nuevos procesos tales como: . La fórmula de Itô aplicada da: $(Z_ {t}) _ {{0 \ leq t \ leq T}}$ $Z_ {t} = ln (S_ {t})$ $Z$

${\ begin {alineado} dZ_ {t} & = {\ frac {\ parcial ln} {\ parcial x}} (S_ {t}) dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} ln} {\ parcial ^ {2} x}} (S_ {t}) d <S, S> _ {t} \\ & = (r - {\ frac {\ sigma ^ { 2}} {2}}) dt + \ sigma dW_ {t} \ end {alineado}}$

Integrando la última línea, llegamos a , luego usando el hecho de que obtenemos la fórmula deseada: $Z_ {t} = Z_ {0} + (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}$ $S_ {t} = e ^ {{Z_ {t}}}$

$S_ {t} = S_ {0} e ^ {{(r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}}}$

Aquí hemos utilizado implícitamente el hecho de que el proceso es estrictamente positivo. Podemos probar este resultado mostrando que el proceso encontrado es la única solución de la ecuación diferencial estocástica . Para ello, podemos aplicar la fórmula de Itô al proceso y demostrar que es constante. $S$ $dS_ {t} = rS_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t}$ $\ left (S_ {t} e ^ {{- (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t- \ sigma W_ {t}}} \ right) _ {t}$

Tenga en cuenta que la variable aleatoria sigue una distribución normal . $W_t$ ${\ mathcal {N}} (0, t)$

Se tiene : ${\ begin {alineado} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} \ left ((r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2} }) T + \ sigma W_ {T}> ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} \ left ({\ tfrac {1} {{\ sqrt {T}}}} W_ {T}> {\ frac {ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) - (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} (G> -d_ {2}) \ end {alineado}}$

Dónde y . $G \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)$ $d_ {2} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [ln ({\ tfrac {S_ {0}} {K}}) + (r - {\ frac { \ sigma ^ {2}} {2}}) T \ derecha]$

Como y tenemos la misma ley entonces: $GRAMO$ $-GRAMO$

${\ begin {alineado} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} (- G> -d_ {2}) \\ & = {\ mathbb {P} } (G <d_ {2}) \\ & = N (d_ {2}) \ end {alineado}}$

¿Dónde está la función de distribución de un gaussiano centrado reducido? $NO(.)$

Echemos ahora un vistazo al cálculo del primer término. Siguiendo los mismos pasos anteriores, uno puede ver fácilmente que:

${\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] = S_ {0} {\ mathbb {E}} \ left [e ^ { {(r - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T + \ sigma {\ sqrt {T}} G}} {1 \! \! 1} _ {{G> -d2} } \ derecha]$

Entonces,

${\ begin {alineado} e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] & = S_ { 0} \ int _ {{{\ mathbb {R}}}} {1 \! \! 1} _ {{x> -d_ {2}}} e ^ {{{\ tfrac {-x ^ {2} } {2}} + \ sigma {\ sqrt {T}} x - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} T}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi} }}} \\\\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {1} {2}} (x - \ sigma {\ sqrt {T}}) ^ {2}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2} - \ sigma {\ sqrt {T}}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{d_ {1}}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} N (d_ {1}) \ end {alineado}}$

Finalmente, al combinar los dos últimos resultados, obtenemos: $C = S_ {0} N (d_ {1}) - Ke ^ {{- rT}} N (d_ {2})$

Reseñas

El matemático Benoît Mandelbrot a través de sus numerosos trabajos sobre el tema cuestiona totalmente la validez de la teoría de Harry Markowitz y sus corolarios el CAPM , desarrollado por William F. Sharpe y la fórmula de Black-Scholes. Considera que estas teorías, por hermosas que parezcan y tan sencillas en su aplicación, están totalmente desvinculadas de la realidad de los mercados financieros. La demoledora crítica de Roll (in) plantea como tautológica o imposible observar la cartera del mercado. Las conclusiones del modelo se han cuestionado muchas veces durante las diversas caídas del mercado de valores. Han dado lugar a políticas de gestión de riesgos que pueden calificarse de irresponsables por parte de las instituciones financieras.

Una de las críticas que surge a menudo es el hecho de que estas teorías se basan en la distribución normal (ley de Gauss o "curva de campana"), que subestima en gran medida los eventos "improbables" como crisis o choques. raro de lo que dispone esta ley. Sin embargo, es fácil corregir este problema teniendo en cuenta una volatilidad adaptada (ver sonrisa de volatilidad ). Otro problema: los supuestos en los que se basan estas teorías son muy poco realistas (la racionalidad de los inversores en particular ...).

A pesar de todas estas críticas, el modelo de Black and Scholes sigue siendo el referente entre profesionales y académicos por su carácter (relativamente) sencillo y práctico.

Solución de la ecuación

Devoluciones continuas

Rendimientos proporcionales

letras griegas

Las letras griegas utilizadas por el modelo de Black-Scholes son las siguientes:

Para la llamada y la venta

$\ Delta = {\ frac {\ parcial P} {\ parcial S}}$
$\ Gamma = {\ frac {\ parcial ^ {2} P} {\ parcial S ^ {2}}}$
$\ Theta = - {\ frac {\ parcial P} {\ parcial T}}$
$\ rho = {\ frac {\ P parcial} {\ R parcial}}$
${\ mathcal {V}} = {\ frac {\ parcial P} {\ parcial V}}$

Fórmulas de derivación

Importancia histórica y económica

Fue publicado en 1973 y fue una extensión del trabajo de Paul Samuelson y Robert Merton . El matemático francés Louis Bachelier inauguró el estudio del tema en 1900 . La intuición básica de Black y Scholes fue relacionar el precio implícito de la opción con los cambios en el precio del activo subyacente. Su descubrimiento tuvo muy rápidamente una influencia considerable y las variaciones de su modelo se utilizan en todos los segmentos de los mercados financieros. Ya en 1977 , Oldrich Vasicek se inspiró en él para fundar la teoría moderna de las tasas de interés .

El modelo de Black y Scholes en la práctica

La tesis fundamental del modelo de Black and Scholes fue que el precio de la opción de compra se indica implícitamente si el subyacente se negocia en los mercados.

El uso del modelo y la fórmula de Black-Scholes está muy extendido en los mercados financieros, a tal punto que ciertas cotizaciones se dan en nivel de volatilidad más que en precio absoluto. De hecho, los demás parámetros del modelo (plazo hasta el vencimiento, precio de ejercicio, tasa de interés libre de riesgo y precio del subyacente) son fácilmente observables en los mercados.

Sin embargo, el modelo de Black y Scholes no modela con precisión el mundo real. La experiencia muestra que, en realidad, la volatilidad depende del precio de ejercicio y del vencimiento.

En la práctica, la superficie de volatilidad (volatilidad implícita en función del precio de ejercicio y el vencimiento) no es plana. A menudo, para un vencimiento determinado, la volatilidad implícita frente al precio de ejercicio tiene una forma de sonrisa (llamada sonrisa de volatilidad ): en el dinero, la volatilidad implícita es menor y cuanto más lejos del dinero, mayor es. También observamos que la sonrisa a menudo no es simétrica en el mercado de valores: más alta en el lado de la venta que en el lado de la compra . Esto se debe a que los participantes del mercado son más sensibles al riesgo a la baja que al riesgo al alza en la acción.

Para un precio de ejercicio dado, la diferencia entre la volatilidad implícita observada y la del dinero se llama sesgo .

La superficie de volatilidad de un subyacente también cambia con el tiempo. Los participantes del mercado lo reevalúan constantemente, cambiando su anticipación de la probabilidad, para cada precio de ejercicio y vencimiento, de que una opción termine en la moneda.

Extensiones de modelo

La fórmula anterior no está exenta de críticas: no permite soportar tasas y volatilidades no constantes ni tasar opciones europeas pagando dividendos .

Así, antes del crash de 1987, pudimos observar que las opciones sobre las acciones del S & P500 tenían una volatilidad implícita constante, pero desde este crash, la volatilidad implícita ha mostrado una “sonrisa”.

Sin embargo, el modelo se puede modificar fácilmente para admitir tasas y volatilidades no constantes.

Así, muchas publicaciones científicas en revistas de matemáticas financieras revisadas por pares critican esta fórmula y sugieren extenderla, corregirla, explicar las diferencias o proponer soluciones alternativas.

También se puede ampliar para opciones europeas que paguen dividendos. Para opciones sobre índices (como el FTSE 100 o el CAC 40 ) donde cada una de las empresas que ingresan a su cálculo puede pagar un dividendo una o dos veces al año, es razonable suponer que los dividendos se pagan sin interrupción.

A continuación, se anota el pago de dividendos durante un período de tiempo : $\ left [t, t + \ delta t \ right]$

q \, S_ {t} \, dt

por una constante. Bajo esta formulación, el precio de arbitraje gratuito según el modelo de Black-Scholes se puede mostrar como: $q$

C (S, T) = e ^ {{- qT}} S_ {0} N (d_ {1}) - e ^ {{- rT}} KN (d_ {2}) \,

P (S, T) = e ^ {{- rT}} KN (-d_ {2}) - e ^ {{- qT}} S_ {0} N (-d_ {1}) \,

o ahora :

F = e ^ {{(rq) T}} S_ {0} \,

es el precio modificado de antemano que se produce en términos y . Esta fórmula se conoce generalmente como Black-Scholes-Merton . $d_1$ $d_2$

La misma fórmula se utiliza para fijar el precio de las opciones sobre las tasas de cambio de moneda extranjera, excepto que ahora toma el papel de la tasa de interés extranjera libre de riesgo y la tasa de cambio inmediata. Este es el modelo de Garman-Kohlhagen (1983). $q$ $S$

También es posible ampliar el marco de Black-Scholes a opciones sobre instrumentos que pagan dividendos discretos. Esto es útil cuando la opción se basa en acciones simples.

Un modelo típico debería asumir que una proporción del precio de las acciones (precio) se paga como dividendo en fechas predeterminadas. $\delta$ $T_ {1}, T_ {2} ...$

El precio de las acciones se modela luego mediante: $S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (t)}} e ^ {{\ sigma W_ {t} + \ mu t}}$

donde es el número de dividendos que se pagaron a tiempo . $n (t)$ $t$

El precio de una opción de compra sobre dichas acciones es nuevamente:

C (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})) \,

P (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})) \,

o ahora :

F = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (T)}} e ^ {{rT}} \,

es el precio inicial de las acciones que pagan dividendos.

Es más difícil evaluar las opciones estadounidenses. Un ejemplo de modelo es el de Whaley, que da una fórmula analítica explícita; el modelo de Cox Ross y Rubinstein simula los eventos sobre el precio del subyacente (saltos, dividendos, etc.) utilizando un árbol binomial donde cada nodo está asociado con una probabilidad.

Finalmente, cabe mencionar que los desarrollos en cuanto a extensión del modelo se han ido en las siguientes cuatro direcciones:

modelo de volatilidad local. La volatilidad se convierte en una función determinista del subyacente y del tiempo. Este es el caso del llamado modelo Dupire;
modelo de volatilidad estocástica. La volatilidad se convierte en una función estocástica con difusión. Este es el caso del modelo llamado Heston o Pitterbarg;
modelo de salto;
modelo que combina los enfoques mencionados anteriormente (por ejemplo, modelo con volatilidad local y salto, modelo con volatilidad local y estocástica, etc.).

Ver también

Bibliografía

Benoît Mandelbrot . Fractales, azar y finanzas , Flammarion , 1959, 1997.
Benoît Mandelbrot . A Fractal Approach to Markets , Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, ediciones Odile Jacob , 2005.
Nicole El Karoui , Cobertura de riesgos en los mercados financieros (file.pdf)

Notas y referencias

(in) " Bienvenidos a un mundo no Black-Scholes " ( Archivo • Wikiwix • Archive.is • Google • ¿Qué hacer? ) [PDF] .

Modelo Black-Scholes

Supuestos y modelo

Fórmula de Black-Scholes

Reseñas

Solución de la ecuación

Devoluciones continuas

Rendimientos proporcionales

letras griegas

Para la llamada y la venta

Fórmulas de derivación

Importancia histórica y económica

El modelo de Black y Scholes en la práctica

Extensiones de modelo

Ver también

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Bibliografía

Notas y referencias