Matriz aleatoria

En teoría de probabilidad y física matemática , una matriz aleatoria es una matriz cuyos elementos son variables aleatorias . La teoría de matrices aleatorias tiene como objetivo comprender ciertas propiedades de estas matrices, como su norma de operador, sus valores propios o sus valores singulares .

Frente a la creciente complejidad de los espectros nucleares observados experimentalmente en la década de 1950, Wigner sugirió reemplazar el operador hamiltoniano del núcleo por una matriz aleatoria.

Esta fructífera hipótesis condujo al rápido desarrollo de un nuevo campo de investigación muy activo en la física teórica , que se ha extendido a la teoría de números en las matemáticas, con en particular una conexión interesante con la función zeta de Riemann (ver por ejemplo l 'artículo prepublicado enfebrero de 2019por Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen y Don Zagier y los comentarios de Robert C. Smith en su blog).

Además de estos ejemplos, existen aplicaciones de la teoría de matrices aleatorias:

• los sistemas integrables ,
• el caos cuántico ,
• la red QCD ,
• la gravedad cuántica en dos dimensiones y más a través de la teoría de cuerdas y Correspondence AdS / CFT ,
• las teorías del calibre supersimétrico .

Para más detalles, lea la introducción a la tesis de Nicolas Orantin (disponible en línea).

Las matrices aleatorias también se encuentran en muchas situaciones cotidianas: tiempo de espera del tren del metro, tsunamis, precios de la bolsa, antenas de telefonía móvil, posición de los árboles en un bosque salvaje, duración del abordaje de un avión, etc. También han demostrado ser fructíferos en biología: forma de proteínas, cristales, etc.

Algunos conjuntos de matrices aleatorias

Matrices de Wigner

Una matriz de Wigner es una matriz aleatoria simétrica cuyas entradas son variables aleatorias centradas (iid) independientes e idénticamente distribuidas. Por ejemplo, si es una familia de variables aleatorias iid según una ley de Rademacher , la matriz simétrica definida por: NO×NO{\ Displaystyle N \ times N}(XI,j)I,j∈{1,...,no}{\ Displaystyle (X_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}METRO=(METROI,j)I,j∈{1,...,no}{\ Displaystyle M = (M_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}

METROI,j={XI,I Si I=j,XI,j Si I<jXj,I Si I>j{\ Displaystyle M_ {i, j} = {\ begin {cases} X_ {i, i} {\ text {si}} i = j, \\ X_ {i, j} {\ text {si}} i < j \\ X_ {j, i} {\ text {si}} i> j \ end {casos}}}

es una matriz de Wigner.

Conjuntos gaussianos

Estos son los conjuntos introducidos por Wigner para la teoría de los espectros nucleares. Hay tres conjuntos:

• el conjunto ortogonal gaussiano para sistemas invariantes en el tiempo (GOE);
• el conjunto unitario gaussiano para sistemas de inversión de tiempo no invariantes (en inglés, conjunto unitario gaussiano o GUE );
• y el conjunto simpléctico gaussiano para sistemas con espín (en inglés, conjunto simpléctico gaussiano o GSE ).

En el caso del conjunto GOE, consideramos matrices simétricas reales cuyos elementos matriciales obedecen a la distribución gaussiana: NO×NO{\ Displaystyle N \ times N}AIj{\ Displaystyle A_ {ij}}

PAG(AIj)∏IDAII∏I<jDAIj=Exp⁡(-gramoTr(tAA))∏IDAII∏I<jDAIj{\ Displaystyle P (A_ {ij}) \ prod _ {i} dA_ {ii} \ prod _ {i <j} dA_ {ij} = \ exp \ left (-g \ mathrm {Tr} ({} ^ { t} AA) \ derecha) \ prod _ {i} dA_ {ii} \ prod _ {i <j} dA_ {ij}}

La distribución es invariante por las transformaciones ortogonales. De la misma manera, en el conjunto unitario, se consideran matrices hermitianas, y la distribución es invariante por las transformaciones unitarias. En el conjunto GSE, la distribución es invariante bajo la acción de transformaciones simplécticas.

Wigner dedujo la distribución de los valores propios de estas matrices en el límite . Es la ley del semicírculo. NO→∞{\ Displaystyle N \ to \ infty}

Es posible deducir la ley de distribución conjunta de los valores propios mediante un cambio de base. El resultado es que:

PAG(λ1,...,λNO)=VSNOExp⁡(-gramo∑IλI2)∏I<j∣λI-λj∣β{\ Displaystyle P (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {N}) = C_ {N} \ exp (-g \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^ {2}) \ prod _ {i <j} \ mid \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j} \ mid ^ {\ beta}}

donde son los valores propios de la matriz, y en el caso GOE, en el caso GUE, en el caso GSE. λI{\ Displaystyle \ lambda _ {i}}β=1{\ Displaystyle \ beta = 1}β=2{\ Displaystyle \ beta = 2}β=4{\ Displaystyle \ beta = 4}

A partir de estas distribuciones, podemos obtener la ley de distribución de las diferencias entre valores propios. Mostramos que si es la distancia (normalizada por la densidad de estados) entre dos valores propios, la probabilidad de que dos valores propios estén distantes tiende a cero si tiende a cero. Si los valores propios estuvieran distribuidos uniformemente, esta probabilidad estaría dada por la ley de Poisson y no tendería hacia cero para tender a cero. Esta propiedad de los conjuntos gaussianos se llama repulsión de nivel. s{\ Displaystyle s}s{\ Displaystyle s}s{\ Displaystyle s}s{\ Displaystyle s}

Conjuntos de unidades

Destacado COE, CUE, CSE. Esta vez, las matrices son respectivamente ortogonales, unitarias o simplécticas. Leurs valeurs propres sont des nombres complexes de module 1. Freeman Dyson a montré que l'étude de la distribution de ces valeurs propres se ramenait à l'étude de la mécanique statistique d'un gaz de particules sur un cercle avec une interaction logarithmique avec la distancia.

Ver también

Artículos relacionados

• Hipótesis de Riemann
• Polinomios ortogonales

Enlaces externos en francés

• Nicolas Orantin , Del desarrollo topológico de modelos matriciales a la teoría topológica de cuerdas: combinatoria de superficies por geometría algebraica (tesis doctoral en física teórica, Universidad de París 6),2007, 179  p. ( HAL  tel-00173162 )
• Bertrand Eynard , "  La universalidad de las matrices aleatorias  ", Pour la science , n o  487,Mayo de 2018, p.  34-44

enlaces externos

• Robert Smith , "  Polinomios de Jensen, la función Riemann-zeta y SYK  " ,2019(consultado el 11 de octubre de 2019 )
• Alan Edelman y N. Raj Rao; Teoría de la matriz aleatoria , Acta Numerica 14  : 233-297 (2005)
• Alan Edelman y Moe Win; Teoría de la matriz aleatoria y sus aplicaciones , MIT Opencourseware (2004).
• Alan Edelman y Moe Win; Teoría de la matriz aleatoria infinita , MIT Opencourseware (2004).
• B Conrey, P Diaconis, F Mezzadri, P Sarnak y NC Snaith (organizadores); Enfoques de matrices aleatorias en teoría de números , coloquio del Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas, Universidad de Cambridge (26 de enero - 16 de julio de 2004).
• Matthew R. Watkins; Matrices aleatorias y función zeta de Riemann , Universidad de Exeter.
• NC Snaith , PJ Forrester, JJM Verbaarschot, Desarrollos en la teoría de matrices aleatorias , J. Phys. A, vol 36, 2003, R 1.
• Libro de PJ Forrester sobre matrices aleatorias
• M. Debbah "Aplicaciones de la teoría de matrices aleatorias a las telecomunicaciones inalámbricas"
• Alice Guionnet , Grandes desviaciones y cálculo estocástico para grandes matrices aleatorias , Encuestas de probabilidad 1  : 72-172 (2004)
• ZD Bai, Metodologías en el análisis espectral de matrices aleatorias dimensionales grandes, una revisión , Statistica Sinica 9  : 611-677 (1999)
• R. Couillet, M. Debbah, "Métodos teóricos de matrices aleatorias para comunicaciones inalámbricas", Cambridge University Press, 2011.

Bibliografía

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• Madan Lal Mehta , "Sobre las propiedades estadísticas de los espaciamientos de nivel en espectros nucleares", Nuclear Physics 18 (1960), 395-419
• ML Mehta, matrices aleatorias . Esta "biblia" ha sido objeto de tres ediciones de volúmenes crecientes:
  • Matrices aleatorias y teoría estadística de los niveles de energía , Academic Press (Nueva York, 1967), 259 págs.
  • Matrices aleatorias ( 2 e ed revisada y ampliada), Academic Press (Nueva York, San Diego - 1991), 562 págs.
  • Matrices aleatorias ( 3 E , Matemáticas puras y aplicadas Serie 142, Elsevier (Londres - 2004) ed.), 688 págs. ( ISBN  0-12-088409-7 )
• ML Mehta, "Matrices aleatorias en física nuclear y teoría de números", en JE Cohen, H. Kesten y CM Newman (eds.), Actas de la Conferencia conjunta de verano AMS-IMS-SIAM, Bowdoin College, Brunswick, Maine, EE. UU. ( Junio ​​de 1984) , Contemporary Mathematics 50 (1986), 295-309.
• Édouard Brézin , Vladimir Kazakov , Didina Serban, Paul Wiegmann  (en) y Anton Zabrodin (eds.), "Applications of Random Matrices in Physics", en Proceedings of the NATO Advanced Study Institute / Les Houches Summer School, 6 al 25 de junio de 2004 , Les Houches (Francia) , Serie Científica II de la OTAN , vol. 221, Springer-Verlag, (Berlín - 2006). ( ISBN  1-4020-4529-8 )
• Bertrand Eynard, Introducción a las matrices aleatorias , notas de un curso impartido en el Service de Physique Théorique du CEA (Saclay - septiembre de 2000). Texto completo disponible aquí .
• Pierre Cartier , Bernard Julia , Pierre Moussa y Pierre Vanhove (eds.), Frontiers in Number Theory, Physics & Geometry (I) - On Random Matrices, Zeta Functions & Dynamical Systems , Les Houches Lectures Notes, Springer-Verlag, 2006 ( ISBN)  3-540-23189-7 )
• Philippe Di Francesco, Paul Ginsparg y Jean Zinn-Justin , Gravedad 2D y matrices aleatorias , Phys.Rept. 254 (1995) 1-133, "  hep-th / 9306153  " , texto abierto, en arXiv . ( Una muy buena introducción al tema ) .
• VA Malyshev y AM Vershik (eds.), “Combinatoria asintótica con aplicaciones a la física matemática”, en Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, celebrado en San Petersburgo, Rusia, 9-22 de julio de 2001 , NATO Science Series II Vol. 77, Springer-Verlag ( ISBN  1-4020-0792-2 )

Notas

1. Griffin y col. 2019 .
2. Smith, 2019 .
3. Orantin 2007 , p.  15-25.
4. Eynard, 2018 .

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