Masa reducida
En física, la masa reducida es la masa atribuida al objeto ficticio implementado para simplificar los problemas de interacción de dos cuerpos de la mecánica newtoniana .
La masa reducida generalmente se denota con la letra griega μ y sus unidades SI son las mismas que las de masa: kilogramos (kg).
Ecuaciones
Problema de dos cuerpos
Dejemos que dos partículas interactúen entre sí, una de masa y la otra de masa , el movimiento de estas dos masas se puede reducir al movimiento de una sola partícula de masa (reducida) :
metro1{\ Displaystyle m_ {1}}metro2{\ Displaystyle m_ {2}}μ{\ Displaystyle \ mu}
μ=11metro1+1metro2=metro1metro2metro1+metro2 .{\ Displaystyle \ mu = {1 \ over {{1 \ over m_ {1}} + {1 \ over m_ {2}}}} = {{m_ {1} m_ {2}} \ over {m_ {1 } + m_ {2}}} \.}
La fuerza aplicada a esta masa es el resultado de las fuerzas entre las masas iniciales. Luego, el problema se resuelve matemáticamente reemplazando las masas de la siguiente manera:
metro1→μ{\ displaystyle m_ {1} \ rightarrow \ mu}
y
metro2→0{\ displaystyle m_ {2} \ rightarrow 0}
N problema corporal
La definición de masa reducida se puede generalizar al problema de N cuerpos :
μ=(∑I=1no1metroI)-1{\ Displaystyle \ mu = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m_ {i}}} \ right) ^ {- 1}}
Aproximación
Cuando la masa es mucho mayor que la masa, la masa reducida es aproximadamente igual a la menor de las masas:
metro1{\ Displaystyle m_ {1}}metro2{\ Displaystyle m_ {2}}
μ=metro1metro2metro1+metro2 =metro1metro2metro1(1+metro2metro1) =metro21+metro2metro1 ≈metro2{\ Displaystyle \ mu = {{m_ {1} m_ {2}} \ over {m_ {1} + m_ {2}}} \ = {{m_ {1} m_ {2}} \ over {m_ {1 }} ({1 + {{m_ {2}} \ over {m_ {1}}})}} \ = {{m_ {2}} \ over {1 + {{m_ {2}} \ over {m_ {1}}}}} \ \ approx m_ {2}}
Derivación
Las ecuaciones de la mecánica se derivan de la siguiente manera.
Mecánica newtoniana
La segunda ley de Newton puede expresar la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la partícula 1 como
F12=metro1a1.{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}La fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2 es
F21=metro2a2.{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}La tercera ley de Newton establece que la fuerza ejercida por las partículas 2 sobre la partícula 1 es igual y opuesta a la fuerza ejercida por la partícula 1 de la partícula 2
F12=-F21.{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}. \! \,}Entonces,
metro1a1=-metro2a2.{\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {a} _ {1} = - m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}y
a2=-metro1metro2a1.{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = - {m_ {1} \ over m_ {2}} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}La aceleración relativa a rel entre los dos cuerpos viene dada por
armil=a1-a2=(1+metro1metro2)a1=metro2+metro1metro2a1=F12μ.{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = \ left (1 + {\ frac {m_ {1} } {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {m_ {2} + m_ {1}} {m_ {2}}} \ mathbf {a} _ {1 } = {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {\ mu}}.}Esto permite concluir que la partícula 1 se mueve con respecto a la posición de la partícula 2 como si fuera un cuerpo de masa equivalente a la masa reducida.
Mecánica lagrangiana
El problema de los dos cuerpos se describe en la mecánica de Lagrange por el siguiente
Lagrangiano
L=12metro1r˙12+12metro2r˙22-V(|r1-r2|){\ Displaystyle L = {1 \ over 2} m_ {1} \ mathbf {\ dot {r}} _ {1} ^ {2} + {1 \ over 2} m_ {2} \ mathbf {\ dot {r }} _ {2} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} |) \! \,}donde r i es el vector de posición de la partícula (de masa m i ) y V es una función de la energía potencial, que depende solo de la distancia entre las partículas (condición necesaria para mantener la invariancia de traslación del sistema). Definimos
I{\ Displaystyle i}
r=r1-r2{\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}y colocamos el origen del sistema de coordenadas utilizado para que coincida con el centro de masa, así
metro1r1+metro2r2=0{\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0}.
De esta manera,
r1=metro2rmetro1+metro2,r2=-metro1rmetro1+metro2.{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ mathbf {r} _ {2} = {\ frac {-m_ {1} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Sustituyendo esto en el Lagrangiano obtenemos
L=12μr˙2-V(r),{\ Displaystyle L = {1 \ over 2} \ mu \ mathbf {\ dot {r}} ^ {2} -V (r),}un nuevo lagrangiano para una partícula de masa reducida:
μ=metro1metro2metro1+metro2.{\ Displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Por lo tanto, hemos reducido el problema inicial de dos cuerpos a un problema de un solo cuerpo simplificado.
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Masa reducida " ( ver la lista de autores ) .
John R. Taylor ( traducido del inglés por Tamer Becherrawy y Aurélie Cusset), Mecánica clásica , Bruselas / París, De Boeck ,2012, 877 p. ( ISBN 978-2-8041-5689-3 )
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